3. Zadatak

a) Vrijedi $|BK|=|AB|$ jer su to stranice istog kvadrata. Također, $|BN|=|BC|=|AD|$. Nadalje

$$\angle KBN=360^\circ-(90^\circ+\angle ABC+90^\circ)=180^\circ-\angle ABC=\angle BAD.$$

Sada po poučku SKS slijedi tvrdnja.

b) Rotacijom trokuta $ABD$ oko točke $O_1$ za $90^\circ$ dobivamo trokut $BKN$. Znači, trokut $PO_1Q$ je jednakokračan pravokutan, dakle polovina kvadrata. Analogna tvrdnja vrijedi za rotaciju oko točke $O_2$. Zato je $PO_1QO_2$ kvadrat.

Drugo rješenje dijela b). Lik $PO_1QO_2$ je paralelogram, jer su mu vrhovi polovišta stranica četverokuta $AKNC$. Dovoljno je još dokazati da je $|AN|=|CK|$ i $AN\perp CK$.

Vrijedi $|CB|=|BN|$, $|BK|=|BA|$ i $\angle CBK=90^\circ+\angle NBK=\angle NBA$. Zato su trokuti $CBK$ i $NBA$ sukladni, pa je $|CK|=|AN|$. Dalje je $\angle BCK=\angle BNA$. Odavde zbog $BC\perp BN$ slijedi $CK\perp NA$ (kutovi s okomitim kracima).