1. Zadatak

Ako je neki od brojeva $m$ ili $n$ jednak 1, nejednakost očito vrijedi.

Pretpostavimo zato da je $m>1$ i $n>1$. Tada vrijedi $\sqrt[n]m=1+u$, $\sqrt[m]n=1+v$, za neke pozitivne realne brojeve $u$ i $v$. Prema binomnoj formuli (ili Bernoullijevoj nejednakosti) vrijedi

$$m=(1+u)^n>1+nu,\qquad n=(1+v)^m>1+mv,$$

odnosno

$$u<\frac{m-1}n,\qquad v<\frac{n-1}m.$$

Odavde slijedi

$$1+u<\frac{m+n-1}n,\qquad1+v<\frac{m+n-1}m.$$

Iz posljednjih nejednakosti dobivamo nejednakost koju je trebalo dokazati:

$$\frac1{\sqrt[n]m}+\frac1{\sqrt[m]n}=\frac1{1+u}+\frac1{1+v}>\frac n{m+n-1}+\frac m{m+n-1}=\frac{m+n}{m+n-1}>1.$$