2. Zadatak

Označimo sa $S_n$ traženi zbroj. Nekoliko prvih pribrojnika u toj sumi izgleda ovako:

$$S_n=1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+\ldots.$$

S obzirom da je $(n-1)^2<n^2-1<n^2$, vrijedi $n-1\le\lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor<n$, pa je posljednji pribrojnik u ovoj sumi jednak $n-1$.

Postavlja se pitanje: ako je $1\le k\le n-1$, koliko će se puta u sumi pojaviti pribrojnik $k$? Tu će vrijednost imati sljedeći članovi sume:

$$\lfloor\sqrt{k^2}\rfloor,\quad\lfloor\sqrt{k^2+1}\rfloor,\ldots,\quad\lfloor\sqrt{(k+1)^2-1}\rfloor.$$

Dakle, pribrojnik $k$ pojavljuje se $(k+1)^2-k^2$ puta. Primijetimo da je posljednji član sume jednak $\sqrt{n^2-1}$, pa je on ujedno posljednji član u ovakvoj skupini pribrojnika. Zato je tražena suma jednaka:

$$S_n=1\cdot(2^2-1^2)+2(3^2-2^2)+\ldots+(n-1)[n^2-(n-1)^2].$$

Izračunajmo ovaj zbroj.

$$\begin{aligned}S_n&=2^2-1^2+2\cdot3^2-2\cdot2^2+3\cdot4^2-3\cdot3^2+\ldots+(n-1)n^2-(n-1)(n-1)^2\\&=-1^2-2^2-3^2-\ldots-(n-1)^2+(n-1)n^2\\&=(n-1)n^2-\frac{(n-1)n(2n-1)}6=\frac{n(n-1)(4n+1)}6.\end{aligned}$$