2. Zadatak

Prvo rješenje.

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom: za svaki prirodan broj $n$ izraz $13^{n+1}+14^{2n-1}$ djeljiv je sa $183$. Baza indukcije zadovoljena je za $n=1$ jer u tom slučaju navedeni izraz $13^2+14=183$ očito jest djeljiv sa $183$.

Pretpostavimo sada da postoji $n\in\mathbb N$ takav da $183$ dijeli $13^{n+1}+14^{2n-1}$.

Za korak indukcije promotrimo izraz za $n+1$:

$$\begin{aligned} 13^{(n+1)+1}+14^{2(n+1)-1} &=13\cdot13^{n+1}+196\cdot14^{2n-1}\\ &=13\cdot\left(13^{n+1}+14^{2n-1}\right)+183\cdot14^{2n-1}. \end{aligned}$$

Po pretpostavci indukcije izraz $13^{n+1}+14^{2n-1}$ djeljiv je sa $183$. Zato je i izraz

$$13^{(n+1)+1}+14^{2(n+1)-1}$$

djeljiv sa $183$ kao zbroj dva takva izraza. Time smo dokazali korak indukcije, pa vrijedi tvrdnja indukcije, a time i tvrdnja zadatka.

Drugo rješenje.

Promotrimo koje ostatke pri dijeljenju sa $183$ daju neke potencije brojeva $13$ i $14$:

$$\begin{aligned} 13^2&\equiv-14\pmod{183},\\ 13^3&\equiv1\pmod{183},\\ 14^2&\equiv13\pmod{183},\\ 14^3&\equiv-1\pmod{183}. \end{aligned}$$

Zato promotrimo slučajeve u ovisnosti o tome koji ostatak $n$ daje pri dijeljenju sa $3$.

Kada je $n$ oblika $3k$ $(k\in\mathbb N)$, tada imamo

$$\begin{aligned} 13^{n+1}+14^{2n-1} &=13^{3k}\cdot13^1+14^{6k-3}\cdot14^2\\ &=(13^3)^k\cdot13+(14^3)^{2k-1}\cdot14^2\\ &\equiv1^k\cdot13+(-1)^{2k-1}\cdot13\\ &\equiv13-13\equiv0\pmod{183}. \end{aligned}$$

U slučaju kada je $n$ oblika $3k+1$ $(k\in\mathbb N_0)$, imamo

$$\begin{aligned} 13^{n+1}+14^{2n-1} &=13^{3k}\cdot13^2+14^{6k}\cdot14^1\\ &=(13^3)^k\cdot13^2+(14^3)^{2k}\cdot14\\ &\equiv1^k\cdot(-14)+(-1)^{2k}\cdot14\\ &\equiv-14+14\equiv0\pmod{183}. \end{aligned}$$

Konačno, u slučaju $n=3k+2$ $(k\in\mathbb N_0)$, imamo

$$\begin{aligned} 13^{n+1}+14^{2n-1} &=13^{3k+3}+14^{6k+3}\\ &=(13^3)^{k+1}+(14^3)^{2k+1}\\ &\equiv1^{k+1}+(-1)^{2k+1}\\ &\equiv1+(-1)\equiv0\pmod{183}. \end{aligned}$$

Kako je izraz $13^{n+1}+14^{2n-1}$ djeljiv sa $183$ neovisno o ostatku koji broj $n$ daje pri dijeljenju s $3$, zaključujemo da je taj izraz djeljiv sa $183$ za svaki $n\in\mathbb N$.