4. Zadatak

Neka su $a,a+n,a+2n,\ldots$ i $b,b+m,b+2m,\ldots$ dva aritmetička niza. Iz uvjeta zadatka slijedi

$$\begin{aligned} ab&=1440,\\ (a+n)(b+m)&=ab+am+bn+nm=1716,\\ (a+2n)(b+2m)&=ab+2am+2bn+4nm=1848. \end{aligned}$$

Uvedimo oznake $x=am+bn$ i $y=nm$.

Uvrštavanjem prve jednadžbe u druge dvije, dobivamo sustav

$$\begin{aligned} x+y&=276,\\ 2x+4y&=408. \end{aligned}$$

Rješenje tog sustava je $x=348$, $y=-72$.

Osmi član niza zato iznosi

$$\begin{aligned} (a+7n)(b+7m)&=ab+7(am+bn)+49mn\\ &=ab+7x+49y\\ &=1440+7\cdot348+49\cdot(-72)=348. \end{aligned}$$