1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=a+bi$. Tada vrijedi

$$\begin{aligned} |z+1|&=|a+1+bi|=\sqrt{(a+1)^2+b^2},\\ |4-\overline z|&=|4-a+bi|=\sqrt{(4-a)^2+b^2}. \end{aligned}$$

Kvadriranjem prve jednadžbe i uvrštavanjem dobivenog slijedi

$$\begin{aligned} (a+1)^2+b^2&=(4-a)^2+b^2\\ a^2+2a+1&=16-8a+a^2\\ 10a&=15\\ a&=\frac32. \end{aligned}$$

Izraz iz druge jednadžbe prvo možemo srediti:

$$\operatorname{Im}\left(\frac{z}{5+i}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{a+bi}{5+i}\cdot\frac{5-i}{5-i}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{5a+b+(5b-a)i}{26}\right)=\frac{5b-a}{26}.$$

Zato je

$$\begin{aligned} \frac{5b-a}{26}&=\frac1{13}\\ 5b-a&=2. \end{aligned}$$

Korištenjem $a=\frac32$ slijedi da je $b=\frac7{10}$.

Stoga je jedini takav kompleksan broj $z$ jednak $\frac32+\frac7{10}i$.

Drugo rješenje.

Iz prve jednadžbe slijedi da je $|z+1|^2=|4-\overline z|^2$. Koristeći identitet $|w|^2=w\cdot\overline w$ slijedi

$$\begin{aligned} |z+1|^2&=|4-\overline z|^2\\ (z+1)(\overline z+1)&=(4-\overline z)(4-z)\\ z\overline z+z+\overline z+1&=16-4\overline z-4z+z\overline z\\ 5z+5\overline z&=15\\ z+\overline z&=3. \end{aligned}$$

Koristeći identitet $w-\overline w=2i\cdot\operatorname{Im}(w)$, dobivamo

$$\operatorname{Im}\left(\frac{z}{5+i}\right)\cdot2i =\frac{z}{5+i}-\frac{\overline z}{5-i} =\frac{5z-zi-5\overline z-\overline zi}{(5+i)(5-i)} =\frac{5(z-\overline z)-i(z+\overline z)}{26}.$$

Korištenjem jednadžbe $z+\overline z=3$ i gornjeg računa u drugu jednadžbu dobivamo

$$\frac{2i}{13}=\operatorname{Im}\left(\frac{z}{5+i}\right)\cdot2i=\frac{5(z-\overline z)-3i}{26},$$

odakle je

$$z-\overline z=\frac75i.$$

Zbrajanjem jednadžbi $z+\overline z=3$ i $z-\overline z=\frac75i$ te dijeljenjem s $2$ dobivamo jedini traženi broj $z=\frac32+\frac7{10}i$.