3. Zadatak

Racionalizacijom slijedi

$$\frac3{\sqrt{20}+\sqrt{23}}=\sqrt{23}-\sqrt{20}.$$

Primjenom binomnog poučka imamo

$$(\sqrt{20}+\sqrt{23})^{2024}=\sum_{n=0}^{2024}\binom{2024}{n}\sqrt{20}^{,n}\cdot\sqrt{23}^{,2024-n},$$

te

$$\frac{3^{2024}}{(\sqrt{20}+\sqrt{23})^{2024}} =(\sqrt{23}-\sqrt{20})^{2024} =\sum_{n=0}^{2024}\binom{2024}{n}(-1)^n\cdot\sqrt{20}^{,n}\cdot\sqrt{23}^{,2024-n}.$$

Zbrajanjem tih dvaju izraza izrazi uz parne indekse $n$ se poklapaju, dok se oni s neparnim indeksom $n$ krate.

Korištenjem $n=2k$ traženi izraz možemo zapisati u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} (\sqrt{20}+\sqrt{23})^{2024}+\frac{3^{2024}}{(\sqrt{20}+\sqrt{23})^{2024}} &=2\sum_{k=0}^{1012}\binom{2024}{2k}\sqrt{20}^{2k}\cdot\sqrt{23}^{2(1012-k)}\\ &=2\sum_{k=0}^{1012}\binom{2024}{2k}20^k\cdot23^{1012-k}. \end{aligned}$$

Zadnji izraz očito je prirodan broj kao suma takvih, čime je tvrdnja zadatka dokazana.