5. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz navedenih informacija zaključujemo da u promatranoj školi $30$ učenika uči samo latinski, $20$ učenika samo grčki, $20$ učenika uči i latinski i grčki te $30$ učenika ne uči niti jedan od navedenih jezika.

Slučajno odabrana dva učenika zadovoljavaju uvjet da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki ako vrijedi jedno od sljedećeg:

a) barem jedan od odabrana dva učenika uči i latinski i grčki jezik,

b) jedan učenik uči samo latinski dok drugi učenik uči samo grčki jezik.

Kako su to disjunktni slučajevi, traženu vjerojatnost dobivamo kao zbroj vjerojatnosti događaja definiranih pod a) i b).

Vjerojatnost pod a) možemo dobiti računajući komplement tog slučaja, tj. da među slučajno odabrana dva učenika niti jedan od njih ne uči i latinski i grčki jezik. Kako je u školi ukupno $80$ učenika koji ne uče bar jedan od navedena dva jezika, broj (neuređenih) parova učenika koji ne uče oba jezika iznosi $\binom{80}{2}$. Kako ukupno postoji $\binom{100}{2}$ različitih parova učenika, zaključujemo da je vjerojatnost događaja pod a) jednaka

$$1-\frac{\binom{80}{2}}{\binom{100}{2}}.$$

Za slučaj pod b) odgovarajući odabiri parova učenika moraju uključivati jednog učenika koji uči samo latinski i jednog učenika koji uči samo grčki. Takvih parova je $30\cdot20$. Kako ukupno postoji $\binom{100}{2}$ parova učenika, vjerojatnost slučaja b) iznosi

$$\frac{30\cdot20}{\binom{100}{2}}.$$

Zaključujemo, vjerojatnost da barem jedan učenik uči latinski i barem jedan grčki jezik prilikom slučajnog odabira dva učenika iznosi

$$1-\frac{\binom{80}{2}}{\binom{100}{2}}+\frac{30\cdot20}{\binom{100}{2}}=\frac{239}{495}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, zaključujemo da u promatranoj školi $30$ učenika uči samo latinski, $20$ učenika samo grčki, $20$ učenika uči i latinski i grčki te $30$ učenika ne uči niti jedan od navedenih jezika.

Umjesto tražene vjerojatnosti $p$, odredimo vjerojatnost $q$ komplementa tog događaja: nijedan od dva učenika ne uči latinski ili nijedan od dva učenika ne uči grčki. Vrijednost iz teksta zadatka jednaka je $p=1-q$.

Vjerojatnost događaja $q$ jednaka je vjerojatnosti da nijedan odabranih učenika ne uči latinski uvećana za vjerojatnost da nijedan ne uči grčki, te umanjena za slučaj u kojem oba učenika ne uče nijedan jezik.

Kako je broj učenika koji ne uči latinski jednak $100-50=50$, vjerojatnost da dva slučajno odabrana učenika ne uče latinski jednaka je

$$\frac{\binom{50}{2}}{\binom{100}{2}}.$$

Slično, broj učenika koji ne uči grčki jednak je $100-40=60$, dok je broj učenika koji ne uči nijedan jezik jednak $30$. Zato vjerojatnosti da nijedan od učenika ne uči grčki, odnosno da oba učenika ne uče niti jedan jezik iznose redom

$$\frac{\binom{60}{2}}{\binom{100}{2}},\qquad\frac{\binom{30}{2}}{\binom{100}{2}}.$$

Konačno, imamo

$$q=\frac{\binom{50}{2}}{\binom{100}{2}}+\frac{\binom{60}{2}}{\binom{100}{2}}-\frac{\binom{30}{2}}{\binom{100}{2}},$$

te je tražena vjerojatnost jednaka

$$p=1-q=1-\frac{\binom{50}{2}}{\binom{100}{2}}-\frac{\binom{60}{2}}{\binom{100}{2}}+\frac{\binom{30}{2}}{\binom{100}{2}}=\frac{239}{495}.$$

U prvom rješenju vjerojatnost pod a) moguće je izračunati i kao zbroj vjerojatnosti događaja u kojem jedan učenik uči oba jezika, a drugi ne, te vjerojatnosti događaja u kojem oba učenika uče oba jezika. Te vjerojatnosti iznose redom

$$\frac{20\cdot80}{\binom{100}{2}},\qquad\frac{\binom{20}{2}}{\binom{100}{2}}.$$