7. Zadatak

Kad prebacimo $1$ na desnu stranu i faktoriziramo ju, dobivamo

$$p^x=(y+1)(y^2-y+1).$$

Zaključujemo da je gornja jednakost zadovoljena ako je svaki od izraza $y+1$ i $y^2-y+1$ potencija broja $p$, odnosno postoje $a,b\in\mathbb N_0$ takvi da je

$$y+1=p^a \qquad \text{i} \qquad y^2-y+1=p^b.$$

Uvrstimo li $y=p^a-1$ u drugu jednadžbu, sređivanjem dobivamo

$$p^{2a}-3p^a+3=p^b.$$

Svi izrazi u gornjoj jednakosti osim broja $3$ djeljivi su manjim od brojeva $p^a$, $p^b$, pa zato i $3$ mora biti djeljiv tim brojem.

To je jedino moguće ako je manji od brojeva $a$ i $b$ jednak $0$ ili $1$, što vodi na $4$ slučaja.

U prvom slučaju neka je $a=0$. Tada je iz prethodne jednadžbe $y=p^a-1=1-1=0$, što nije prirodan broj, pa time nismo dobili rješenje početne jednadžbe.

U drugom slučaju neka je $b=0$. Tada iz jednadžbe $y^2-y+1=p^b$ dobivamo $y(y-1)=0$, čije je jedino rješenje u prirodnom brojevima $y=1$. Tada je $p^a=y+1=2=2^1$. Uz provjeru, dobivamo jedno rješenje početne jednadžbe: $(x,y,p)=(1,1,2)$.

U trećem slučaju neka je $a=1$ (i $b\ge a$). Tada iz jednadžbe $p^{2a}-3p^a+3=p^b$ vidimo da $p^a\mid3$, odakle je $p=3$. Tada je $y=p^a-1=2$, odakle uz provjeru dobivamo dodatno rješenje početne jednadžbe: $(x,y,p)=(2,2,3)$.

U zadnjem slučaju imamo $b=1$ (i $a\ge b$). Na isti način dokažemo da je $p=3$, odakle imamo $y^2-y+1=p^b=3$. Jedino prirodno rješenje ove jednadžbe je $y=2$ što vodi prema već pronađenom rješenju $(x,y,p)=(2,2,3)$.

Zato su sve uređene trojke $(x,y,p)$ koje zadovoljavaju uvjete zadatka jednake

$$(1,1,2) \qquad \text{i} \qquad (2,2,3).$$