1. Zadatak

Takav prirodan broj ne postoji. Dokažimo matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $a_n<2015$.

Baza indukcije. Za $n=1$ vrijedi

$$a_1=\sqrt[2015]{2015}<2015.$$

Korak indukcije. Pretpostavimo da za neki prirodan broj $n$ vrijedi $a_n<2015$. Tada je

$$a_{n+1}=a^{a_n}<a^{2015}=2015.$$

Po principu matematičke indukcije slijedi da je $a_n<2015$ za svaki prirodan broj $n$, pa ne postoji prirodan broj $n$ za koji je $a_n\ge2015$.