2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $A_1=(x_1,x_1^2)$ i $A_2=(x_2,x_2^2)$, $x_1>x_2$, vrhovi kvadrata koji leže na paraboli $y=x^2$. Budući da je pravac $A_1A_2$ paralelan pravcu $y=2x-17$, ti pravci imaju isti koeficijent smjera. Zato vrijedi

$$\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=2, \qquad\text{tj.}\qquad x_1+x_2=2.$$

Duljina stranice promatranog kvadrata iznosi

$$\begin{aligned} |A_1A_2|&=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}\\ &=\sqrt{(x_1-x_2)^2\bigl[1+(x_1+x_2)^2\bigr]}\\ &=\sqrt5(x_1-x_2)=2\sqrt5(1-x_2). \end{aligned}$$

A udaljenost točke $A_2$ od pravca $2x-y-17=0$ iznosi

$$d(A_2,p)=\frac{|2x_2-x_2^2-17|}{\sqrt5} =\frac{|x_2^2-2x_2+17|}{\sqrt5}.$$

Budući da je udaljenost točke $A_2$ od pravca $2x-y-17$ jednaka duljini stranice kvadrata, slijedi

$$10(1-x_2)=|x_2^2-2x_2+17|.$$

Izraz u apsolutnoj vrijednosti je pozitivan jer je diskriminanta tog kvadratnog trinoma jednaka $(-2)^2-4\cdot17<0$, pa slijedi

$$10(1-x_2)=x_2^2-2x_2+17, \qquad x_2^2+8x_2+7=0.$$

Rješenja ove jednadžbe su $-1$ i $-7$.

Ako je $x_2=-1$, onda je $|A_1A_2|=4\sqrt5$ i površina kvadrata je $P=80$. Ako je $x_2=-7$, onda je $|A_1A_2|=16\sqrt5$ i površina kvadrata je $P=1280$.

Drugo rješenje.

Neka je $A_1A_2A_3A_4$ traženi kvadrat, pri čemu su točke $A_1$ i $A_2$ na paraboli $y=x^2$, a točke $A_3$ i $A_4$ na pravcu $y=2x-17$.

Neka su $(x_i,y_i)$ koordinate točke $A_i$ za $i=1,2,3,4$. Neka je $y_1>y_2$ i neka je $y_4>y_3$, kao na slici. Povucimo paralele s $x$-osi kroz točke $A_1$ i $A_3$, te paralele s $y$-osi kroz točke $A_2$ i $A_4$. Presjeci tih paralela čine vrhove kvadrata $P_1P_2P_3P_4$. Pravokutni trokuti $A_1P_1A_2$, $A_2P_2A_3$, $A_3P_3A_4$ i $A_4P_4A_1$ su sukladni.

Iskoristimo li sukladnost kateta tih pravokutnih trokuta i $y_1=x_1^2$, $y_2=x_2^2$, $y_3=2x_3-17$ i $y_4=2x_4-17$, dobivamo

$$x_1-x_2=|A_1P_1|=|A_2P_2|=x_2^2-2x_3+17. \tag{1}$$ $$x_1-x_2=|A_1P_1|=|A_3P_3|=x_4-x_3. \tag{2}$$ $$x_1^2-x_2^2=|P_1A_2|=|P_3A_4|=2x_4-2x_3. \tag{3}$$ $$x_3-x_2=|P_2A_3|=|P_3A_4|=2x_4-2x_3. \tag{4}$$

Iz jednadžbi (2) i (3) slijedi $x_1+x_2=2$. Uvrstimo li $x_1=2-x_2$ u (2), dobivamo

$$x_4=x_1-x_2+x_3=2-2x_2+x_3.$$

Uvrstimo li $x_4=2-2x_2+x_3$ u (4), dobivamo

$$x_2=3x_3-2x_4=x_3-4+4x_2, \qquad\text{tj.}\qquad x_3=4-3x_2.$$

Konačno, uvrštavanjem $x_1=2-x_2$ i $x_3=4-3x_2$ u (1) dobivamo

$$2-x_2-x_2=x_2^2-2(4-3x_2)+17, \qquad\text{tj.}\qquad x_2^2+8x_2+7=0.$$

Rješenja ove jednadžbe su $-1$ i $-7$.

Ako je $x_2=-1$, onda točka $A_2$ ima koordinate $(-1,1)$, a točka $A_1$ ima koordinate $(3,9)$. Tada je površina kvadrata

$$|A_1A_2|^2=(3+1)^2+(9-1)^2=80.$$

Ako je $x_2=-7$, onda točka $A_2$ ima koordinate $(-7,49)$, a točka $A_1$ ima koordinate $(9,81)$. Tada je površina kvadrata

$$|A_1A_2|^2=(9+7)^2+(81-49)^2=1280.$$

Tražene površine su $80$ i $1280$.