3. Zadatak

Primijetimo da je za $k=0,1,\ldots,n-1$

$$\tan a_k=2^{k-n}=\frac1{2^{n-k}}=\frac1{\tan a_{2n-k}}.$$

Zapišimo traženi zbroj na sljedeći način:

$$a_0+a_1+\cdots+a_{2n} =(a_0+a_{2n})+(a_1+a_{2n-1})+\cdots+(a_{n-1}+a_{n+1})+a_n.$$

Budući da je $\tan a_k>0$, vrijedi $a_k>0$, odnosno $a_k\in\left(0,\frac\pi2\right)$ za $k=0,1,\ldots,2n$.

Uočimo da za $x,y\in\left(0,\frac\pi2\right)$ za koje je $\tan x\tan y=1$ vrijedi $x+y=\frac\pi2$. Naime,

$$\tan y=\frac1{\tan x}=\cot x=\tan\left(\frac\pi2-x\right),$$

a kako su $x$ i $y$ u intervalu $\left(0,\frac\pi2\right)$, vrijedi $y=\frac\pi2-x$, odnosno $x+y=\frac\pi2$.

Zato vrijedi

$$a_k+a_{2n-k}=\frac\pi2\qquad\text{za sve }k=0,1,\ldots,n-1.$$

Budući da je $\tan a_n=2^{n-n}=1$, vrijedi $a_n=\frac\pi4$. Zato je tražena suma jednaka

$$n\cdot\frac\pi2+\frac\pi4=\frac{(2n+1)\pi}{4}.$$