5. Zadatak

Neka su redom $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zadani brojevi. Radi jednostavnijeg zapisa označimo $x_{n+1}=x_1$ i $x_{-1}=x_n$.

Neka je $c$ zbroj svih crvenih brojeva, a $S=c+b+p$ zbroj svih brojeva.

Ako je $x_i$ crveni broj, onda je

$$x_{i-1}+x_{i+1}=2x_i.$$

Ako je $x_i$ bijeli broj, onda je

$$x_{i-1}+x_{i+1}=x_i.$$

Ako je $x_i$ plavi broj, onda je

$$x_{i-1}+x_{i+1}=\frac12x_i.$$

Ovako smo uvjete iz zadatka napisali kao jednakosti koje povezuju tri uzastopna broja.

Promotrimo zbroj svih tih jednakosti. Zbrojimo li sve jednakosti za $i=1,2,\ldots,n$, s desne strane dobit ćemo

$$2c+b+\frac12p,$$

dok ćemo s lijeve strane dobiti

$$\sum_{i=1}^n x_{i-1}+\sum_{i=1}^n x_{i+1}=2S=2c+2b+2p.$$

Dakle,

$$2c+2b+2p=2c+b+\frac12p,$$

pa je

$$\frac bp=-\frac32.$$