2. Zadatak

Za svaki $n\in\mathbb N$, neka je $D_n$ diskriminanta kvadratne jednadžbe $x^2+p_nx+q_n=0$:

$$D_n=p_n^2-4q_n.$$

Iz zadanog uvjeta zaključujemo da je $D_1$ kvadrat nekog cijelog broja.

Nadalje imamo:

$$\begin{aligned} D_{n+1} &=p_{n+1}^2-4q_{n+1}\\ &=(p_n+1)^2-4\left(q_n+\frac12p_n\right)\\ &=p_n^2-4q_n+1=D_n+1. \end{aligned}$$

Pretpostavimo da za neki prirodni broj $n$ jednadžba $x^2+p_nx+q_n=0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Tada je $D_n=k^2$ za neki cijeli broj $k$, te imamo:

$$D_{n+2k+1}=D_n+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2.$$

Osim toga, kako su

$$\frac12\left(-p_n+\sqrt{D_n}\right) \quad\text{i}\quad \frac12\left(-p_n-\sqrt{D_n}\right)$$

cijeli brojevi, zaključujemo da su $p_n$ i $D_n$ iste parnosti. No, tada je i

$$p_{n+2k+1}\equiv p_n+2k+1\equiv p_n+1\equiv D_n+1\equiv D_n+2k+1\equiv D_{n+2k+1}\pmod2$$

pa i jednadžba $x^2+p_{n+2k+1}x+q_{n+2k+1}=0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Time smo dokazali da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2+p_nx+q_n=0$ ima dva cjelobrojna rješenja.