1. Zadatak

a) Neka su $a=x+y$, $b=x^2+y^2$ i $c=x^4+y^4$ cijeli brojevi. Tada su i $a^2-b=2xy$ i $b^2-c=2x^2y^2$ cijeli brojevi.

Pretpostavimo da $xy$ nije cijeli broj. Tada je $xy=\frac m2$, gdje je $m\in\mathbb Z$ neparan broj. No, u tom slučaju broj

$$2x^2y^2=\frac{m^2}{2}$$

nije cijeli broj, što je kontradikcija.

Ovim smo dokazali da je $xy$ cijeli broj.

Sada indukcijom lako dokažemo da je $x^n+y^n$ cijeli broj, za sve $n\in\mathbb N$:

Baza: brojevi $x+y$ i $x^2+y^2$ su prema pretpostavci cijeli brojevi.

Pretpostavimo da su, za neki prirodni broj $n>1$ brojevi $x^{n-1}+y^{n-1}$ i $x^n+y^n$ cijeli. Tada vrijedi:

$$\begin{aligned} x^{n+1}+y^{n+1} &=(x^n+y^n)(x+y)-(x^ny+xy^n)\\ &=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}+y^{n-1}). \end{aligned}$$

Kako su $x+y$ i $xy$ cijeli brojevi, kao i $x^{n-1}+y^{n-1}$ i $x^n+y^n$, zaključujemo da je i $x^{n+1}+y^{n+1}$ cijeli broj.

Po principu matematičke indukcije slijedi da je $x^n+y^n$ cijeli broj za sve $n\in\mathbb N$.

b) Npr. $x=\sqrt2$, $y=-\sqrt2$.

c) Npr. $x=\frac1{\sqrt2}$, $y=-\frac1{\sqrt2}$.