4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $k\in\mathbb N$ takav da je $2n^2=dk$. Tada vrijedi:

$$\begin{aligned} k^2(n^2+d)&=k^2n^2+k^2d=k^2n^2+2kn^2\\ &=n^2(k^2+2k)=n^2\bigl((k+1)^2-1\bigr). \end{aligned}$$

Izraz $(k+1)^2-1$ nije potpun kvadrat za $k\in\mathbb N$. Stoga ni broj $k^2(n^2+d)$, pa tako ni $n^2+d$ ne može biti potpun kvadrat.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo da je $n^2+d=m^2$.

Iz uvjeta zadatka imamo $(m^2-n^2)k=2n^2$, tj. $(k+2)n^2=km^2$.

Ako neki prost broj $p\ne2$ dijeli $k$ onda $p$ ne dijeli $k+2$ pa dijeli $n^2$. Iz toga slijedi da se $p$ javlja s parnim eksponentom na lijevoj strani gornje jednakosti i stoga se u rastavu broja $k$ na proste faktore svaki neparan prosti faktor pojavljuje s parnim eksponentom. Analogno zaključujemo da se svaki prost faktor $p\ne2$ u broju $k+2$ javlja s parnim eksponentom.

Ako je $k$ neparan, tada su $k$ i $k+2$ potpuni kvadrati, što je nemoguće jer se dva pozitivna potpuna kvadrata ne razlikuju za $2$.

Broj $2$ dijeli $k$ ako i samo ako dijeli $k+2$. Ako pretpostavimo da $2$ dijeli $k$ i $k+2$. Onda je jedan od tih brojeva djeljiv s $4$, a drugi nije. Zaključujemo da je jedan od tih brojeva oblika $2^r a^2$, a drugi $2b^2$ pri čemu je $r$ neparan prirodni broj, a $a$ i $b$ prirodni brojevi. Razlika brojeva $\frac12k$ i $\frac12(k+2)$ tj. brojeva $2^{r-1}a^2$ i $b^2$ mora biti $1$. Kako su ta dva broja potpuni kvadrati, to je nemoguće.

Treće rješenje.

1. slučaj. Neka je $d$ neparan. Tada $d$ dijeli $n^2$. Broj $d$ možemo prikazati u obliku $d=a^2b$ gdje su $a$ i $b$ prirodni brojevi, i $b$ nije djeljiv potpunim kvadratom većim od $1$. Kako $a^2b$ dijeli $n^2$, zaključujemo da $ab$ dijeli $n$, pa je $n=abk$ za neki $k\in\mathbb N$.

Sada imamo

$$n^2+d=(abk)^2+a^2b=a^2b(bk^2+1),$$

iz čega vidimo da je $\frac{n^2+d}{a^2}$ prirodan broj.

Ako je $b>1$, taj broj je djeljiv s $b$ ali ne i s $b^2$. Stoga $n^2+d$ nije potpun kvadrat.

Ako je $b=1$, onda je $n^2+d=a^2(k^2+1)$ što nije potpun kvadrat za $k\in\mathbb N$.

2. slučaj. Neka je $d$ paran. Tada se $d$ može prikazati u obliku $2a^2b$ gdje su $a$ i $b$ prirodni brojevi i $b$ nije djeljiv potpunim kvadratom većim od $1$. Iz $d\mid2n^2$, odnosno $2a^2b\mid2n^2$ zaključujemo da $ab\mid n$. Dakle, $n=abk$, $k\in\mathbb N$. Tada je

$$n^2+d=(abk)^2+2a^2b=a^2b(bk^2+2).$$

Promotrimo prirodni broj

$$\frac{n^2+d}{a^2}=b(bk^2+2).$$

Ako je $b>2$, taj broj je djeljiv s $b$ ali ne i s $b^2$. Stoga $n^2+d$ nije potpun kvadrat.

Ako je $b=1$ onda je $b(bk^2+2)=k^2+2$, a ako je $b=2$ onda je $b(bk^2+2)=2(2k^2+2)=4(k^2+1)$. Ni u tim slučajevima $n^2+d$ nije potpun kvadrat.