3. Zadatak

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$ . Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$ , dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$ .

Napomena: U svim rješenjima promatramo trokut $ABC$ u kojem je $\angle BAC=60^\circ$ i $|AB|>|CA|$ (to možemo pretpostaviti bez gubitka općenitosti).

Rješenje

Prvo rješenje.

Neka je točka $A_1$ nožište visine iz vrha $A$ zadanog trokuta, točka $O_1$ nožište okomice iz točke $O$ na stranicu $CA$ , a točka $H_1$ nožište okomice iz točke $H$ na pravac $AB$ . Označimo $|CA|=b$ i $\angle CBA=\beta$ .

Prvi službeni geometrijski dijagram

Trokut $CAO$ je jednakokračan, a kut $\angle COA$ je središnji kut nad tetivom $\overline{CA}$ opisane kružnice trokuta $ABC$ . Zato je

\angle O_1OA=\frac12\angle COA=\frac12\cdot2\angle CBA=\beta \qquad\text{i}\qquad |AO_1|=\frac b2.

S druge strane, trokut $AH_1C$ je polovica jednakostraničnog trokuta i vrijedi $2|AH_1|=|CA|=b$ , odakle je $|AH_1|=\frac b2$ . Pravokutni trokuti $AH_1H$ i $AA_1B$ su slični jer imaju zajednički šiljasti kut pri vrhu $A$ te je $\angle AHH_1=\angle ABA_1=\beta$ .

Sada se može zaključiti da su trokuti $AOO_1$ i $AHH_1$ sukladni pa je $|AO|=|AH|$ , $\angle OAO_1=\angle HAH_1$ . Zbog simetrije pri vrhu $A$ , simetrala kuta $\angle BAC$ ujedno je i simetrala kuta između krakova jednakokračnog trokuta $AOH$ , pa je okomita na pravac $OH$ .

Drugo rješenje.

Neka je $D$ sjecište simetrale kuta $\angle BAC$ i opisane kružnice. Ta točka leži i na simetrali dužine $BC$ . Označimo s $P$ polovište dužine $BC$ . Kako je $|OC|=|OD|$ i $\angle COD=2\angle CAD=60^\circ$ , trokut $COD$ je jednakostraničan. Točka $P$ je i polovište dužine $OD$ jer je $OD\perp BC$ .

Poznato je da je $|AH|=2|OP|$ pa zaključujemo da je $|AH|=|OD|$ .

Također uočavamo da su pravci $AH$ i $OD$ međusobno paralelni jer su oba okomita na $BC$ . Zato je četverokut $AHDO$ paralelogram.

Kako je i $|AO|=|DO|$ , četverokut $AHDO$ je romb pa su njegove dijagonale, $AD$ i $OH$ , međusobno okomite.

Drugi službeni geometrijski dijagram

Treće rješenje.

Treći službeni geometrijski dijagram

Kako je $\angle BOC=2\angle BAC=120^\circ$ i $\angle BHC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ$ za šiljasti, a $\angle BHC=60^\circ$ za tupokutni trokut $ABC$ , zaključujemo da točke $H$ , $O$ , $B$ i $C$ leže na istoj kružnici. Zato je

\angle OHB=\angle OCB=\frac12(180^\circ-\angle BOC)=30^\circ.

Označimo s $B_1$ i $C_1$ sjecišta pravca $OH$ s pravcima $AC$ i $AB$ redom. Kut između pravaca $AB$ i $OH$ je vanjski kut trokuta $C_1BH$ i iznosi $60^\circ$ (jer je $\angle HBA=30^\circ$ ) te je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan. Sada je jasno da simetrala kuta $\angle BAC$ sadrži njegovu visinu pa je okomita na pravac $OH$ .