4. Zadatak

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$ te neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ veličine unutarnjih kutova trokuta pri vrhovima $A$, $B$ i $C$ redom. Nadalje, neka je točka $K$ preostalo diralište upisane kružnice i trokuta $ABC$, tj. točka u kojoj upisana kružnica dodiruje stranicu $\overline{BC}$.

Uočimo da su trokuti $MBP$ i $KBP$ sukladni prema poučku $SKS$. Naime, ti trokuti imaju zajedničku stranicu $\overline{BP}$, $|BM|=|BK|$ jer su to tangentne dužine, a $\angle MBP=\angle KBP=\frac\beta2$ jer točka $P$ leži na simetrali $\angle ABC$. Zbog te sukladnosti je $$\angle KPI=\angle KPB=\angle MPB=\angle AMN-\angle MBP,$$ pri čemu posljednja jednakost vrijedi jer je $\angle AMN$ vanjski kut trokuta $MBP$.

Kako je $|AM|=|AN|$, iz jednakokračnog trokuta $AMN$ imamo $\angle AMN=90^\circ-\frac\alpha2$. Stoga je $$\angle KPI=\angle AMN-\angle MBP=\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)-\frac\beta2=90^\circ-\frac{\alpha+\beta}2=\frac\gamma2.$$ S druge strane, kako je točka $I$ sjecište simetrala kutova trokuta $ABC$, slijedi $\angle KCI=\frac\gamma2$, odnosno $\angle KPI=\angle KCI$. Dakle, dužina $\overline{IK}$ se iz točaka $P$ i $C$ vidi pod istim kutom pa točke $I$, $K$, $C$, $P$ leže na istoj kružnici, tj. četverokut $IKCP$ je tetivan. Zbog tetivnosti tog četverokuta te činjenice da je $IK\perp BC$ vrijedi $$\angle CPB=\angle CPI=180^\circ-\angle IKC=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$ odnosno $BP\perp CP$, što je i trebalo dokazati.

Napomena. Sva razmatranja vrijede neovisno o tome sijeku li se pravci $MN$ i $BI$ unutar ili izvan trokuta $ABC$.