1. Zadatak

Prvo rješenje.

Dana jednadžba se može transformirati na sljedeći način: $$\begin{aligned} z^3+(2-a)z^2+(1-3a)z+a^2-a&=0,\\ z^3+2z^2-az^2+z-3az+a^2-a&=0,\\ z^3+z^2+z^2-az^2+z-2az-az+a^2-a&=0,\\ (z-a)^2+(z-a)+z^2(z+1)-az(z+1)&=0,\\ (z-a)(z-a+1)+z(z+1)(z-a)&=0,\\ (z-a)(z^2+2z+1-a)&=0. \end{aligned}$$ Ako promatrani izraz gledamo kao jednadžbu po $a$, iz faktorizacije vidimo da su rješenja $a_1=z$ i $a_2=z^2+2z+1$. Iz uvjeta zadatka ta dva rješenja trebaju biti jednaka pa zaključujemo $z^2+z+1=0$, odakle množenjem sa $z-1$ dobijemo $z^3=1$.

Drugo rješenje.

Neka je $z$ kompleksni broj takav da za neki $a$ vrijedi $z^3+(2-a)z^2+(1-3a)z+a^2-a=0$. Tada je $$a^2-a(z^2+3z+1)+(z^3+2z^2+z)=0.$$ Ako postoji točno jedan kompleksni broj $a$ za koji vrijedi gornja jednakost, onda je diskriminanta te kvadratne jednadžbe (po varijabli $a$) jednaka nuli, tj. $$(z^2+3z+1)^2-4(z^3+2z^2+z)=0.$$ Sređivanjem se dobije $z^4+2z^3+3z^2+2z+1=0$, tj. $(z^2+z+1)^2=0$. Odatle je $z^2+z+1=0$, odakle, kao i u prvom rješenju, množenjem sa $z-1$ zaključujemo da je $z^3=1$.