3. Zadatak

Za $r=2$ imali bismo $p^q=1$, što nije moguće jer je $p>1$. Prema tome, $r$ je prost broj veći od $2$, pa je neparan. Tada je

$$p^q=r-1$$

paran broj, pa je $p$ paran i zato je $p=2$.

Ako je $q=2$, dobivamo

$$(p,q,r)=(2,2,5).$$

Ako je $q>2$, tada je $q$ neparan i možemo faktorizirati

$$r=2^q+1=(2+1)(2^{q-1}-2^{q-2}+2^{q-3}-\cdots+1).$$

Zaključujemo da je $r$ djeljiv s $3$. To je za prost broj $r$ moguće samo ako je $r=3$, a tada bi bilo $q=1$, što nije moguće.

Jedino je rješenje

$$\boxed{(p,q,r)=(2,2,5)}.$$