6. Zadatak

Označimo vrhove kvadrata s $D,E,F,G$ kao na slici.

Neka je $x$ duljina stranice kvadrata, tj. $x=|DE|$. Neka je $H$ sjecište pravaca $BC$ i $FG$. Četverokut $GHCD$ je pravokutnik. Označimo $y=|CD|=|HG|$.

Pravokutni trokuti $ABC$ i $FBH$ slični su jer im je kut u vrhu $B$ zajednički. Stoga je

$$\frac12=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|BH|}{|FH|}.$$

Budući da je $|BH|=1-x$ i $|FH|=x+y$, slijedi

$$\frac12=\frac{1-x}{x+y},$$

odakle je

$$y=2-3x.$$

Primjenom Pitagorinog poučka u pravokutnom trokutu $GBH$ dobivamo

$$1=|BG|^2=|BH|^2+|GH|^2=(1-x)^2+y^2.$$

Uvrštavanjem $y=2-3x$ dobivamo

$$10x^2-14x+4=0,$$

odnosno

$$5x^2-7x+2=0.$$

Rješenja su $x_1=1$ i $x_2=\frac25$. Budući da mora vrijediti $1-x=|BH|>0$, nije moguće $x=1$. Zato je duljina stranice kvadrata

$$\boxed{\frac25}.$$