4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pomnožimo li prvu jednadžbu s $2$ i oduzmemo je od druge, dobivamo

$$2x^2-xy-3y^2=0.$$

Izraz na lijevoj strani faktorizira se:

$$(2x-3y)(x+y)=0.$$

Dakle, $2x-3y=0$ ili $x+y=0$.

Ako je $x+y=0$, u početni sustav uvrštavamo $x=-y$ i dobivamo

$$(x,y)=\left(\frac12,-\frac12\right),\qquad (x,y)=\left(-\frac12,\frac12\right).$$

Ako je $2x-3y=0$, uvrštavamo $x=\frac32y$ u početni sustav i dobivamo

$$(x,y)=(3,2),\qquad (x,y)=(-3,-2).$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju dobivamo

$$2x^2-xy-3y^2=0.$$

Ako je $y=0$, onda mora biti i $x=0$, a $(0,0)$ nije rješenje početnog sustava. Zato možemo podijeliti jednadžbu s $y^2$ i dobivamo

$$2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}-3=0.$$

Kvadratna jednadžba ima rješenja

$$\frac{x}{y}=-1,\qquad \frac{x}{y}=\frac32.$$

Za $\frac{x}{y}=-1$ uvrštavanjem $x=-y$ u početni sustav dobivamo

$$\left(\frac12,-\frac12\right),\qquad\left(-\frac12,\frac12\right),$$

a za $\frac{x}{y}=\frac32$ dobivamo

$$(3,2),\qquad(-3,-2).$$

Treće rješenje.

Pomnožimo li prvu jednadžbu s $3$ i oduzmemo je od druge, dobivamo

$$x^2-2xy+y^2=1,$$

odnosno

$$(x-y)^2=1.$$

Zato je $x-y=1$ ili $x-y=-1$.

U prvom slučaju $x=y+1$. Uvrštavanjem u početni sustav dobivamo

$$2y^2-3y-2=0,$$

pa su $y=2$ i $y=-\frac12$. Odavde dobivamo

$$(x,y)=(3,2),\qquad \left(\frac12,-\frac12\right).$$

U drugom slučaju $x=y-1$, pa uvrštavanjem dobivamo

$$(x,y)=(-3,-2),\qquad\left(-\frac12,\frac12\right).$$

Sva su rješenja

$$\boxed{\left(\frac12,-\frac12\right),\qquad \left(-\frac12,\frac12\right),\ (3,2),\ (-3,-2)}.$$