7. Zadatak

Retci tablice $50\times50$ označeni su brojevima $a_1,\ldots,a_{50}$ , a stupci brojevima $b_1,\ldots,b_{50}$ . Tih $100$ brojeva je međusobno različito i među njima je točno $50$ racionalnih brojeva. Tablica je popunjena tako da je za $i,j=1,2,\ldots,50$ , u polje $(i,j)$ upisan broj $a_i+b_j$ . Odredi najveći mogući broj racionalnih brojeva upisanih u polja tablice.

Rješenje

Kažemo da je redak, odnosno stupac, racionalan (iracionalan) ako je označen racionalnim (iracionalnim) brojem.

Svako polje u tablici spada u točno jedan od sljedeća tri tipa:

(A) polja na presjeku racionalnog retka i racionalnog stupca;
(B) polja na presjeku racionalnog retka i iracionalnog stupca ili iracionalnog retka i racionalnog stupca;
(C) polja na presjeku iracionalnog retka i iracionalnog stupca.

Budući da je zbroj dva racionalna broja racionalan, polja tipa (A) uvijek su označena racionalnim brojem. Zbroj racionalnog i iracionalnog broja je iracionalan, stoga su sva polja tipa (B) označena iracionalnim brojevima. Konačno, zbroj dva iracionalna broja može, ali ne mora biti racionalan, stoga isto vrijedi za oznaku svakog polja tipa (C).

Označimo s $k$ broj racionalnih redaka. Tada imamo $50-k$ iracionalnih redaka, $50-k$ racionalnih stupaca i $k$ iracionalnih stupaca. Odavde slijedi da imamo $k(50-k)$ polja tipa (A), $k^2+(50-k)^2$ polja tipa (B) i $k(50-k)$ polja tipa (C).

Neka je $N$ ukupan broj polja označenih racionalnim brojevima. Kako se racionalni brojevi mogu nalaziti samo u poljima tipa (A) i (C), zaključujemo

N\le 2k(50-k).

Kvadratna funkcija $f(x)=2x(50-x)$ svoj maksimum postiže za $x=25$ , te on iznosi $1250$ . Zbog toga je

2k(50-k)\le1250,

odnosno $N\le1250$ . Time smo pokazali da najveći mogući broj racionalnih brojeva nije veći od $1250$ .

Preostaje pokazati da se $1250$ racionalnih brojeva doista može postići. Stavimo, primjerice,

a_i= \begin{cases} i,&i=1,2,\ldots,25,\\ i+\sqrt2,&i=26,27,\ldots,50, \end{cases} \qquad b_j= \begin{cases} j-\sqrt2,&j=1,2,\ldots,25,\\ j,&j=26,27,\ldots,50. \end{cases}

Kako je $\sqrt2$ iracionalan, očito je točno $50$ od ovih $100$ brojeva racionalno. Nadalje, nikoja dva nisu međusobno jednaka.

Oznaka svakog polja tipa (C) u ovom je primjeru oblika

(i+\sqrt2)+(j-\sqrt2)=i+j,

dakle racionalan broj. Kako je u ovom primjeru $k=25$ , ukupno imamo

N=2\cdot25\cdot25=1250.

Pokazali smo da broj racionalnih brojeva može biti $1250$ , te da ne može biti veći. Zato je najveći mogući broj

\boxed{1250}.