2. Zadatak

Prvo rješenje

Neka je $f(z)=z^3+pz^2+qz+r$ polinom kojem su nultočke $a$, $b$ i $c$. Zbog Vieteovih formula za polinom trećeg stupnja i danih jednakosti vrijedi $p=0$ i $q=0$, pa su $a$, $b$ i $c$ nultočke polinoma $f(z)=z^3+r$.

Iz

$$a^3+r=b^3+r=c^3+r=0$$

slijedi $a^3=b^3=c^3$, odnosno $|a^3|=|b^3|=|c^3|$, tj. $|a|^3=|b|^3=|c|^3$ i konačno $|a|=|b|=|c|$.

Drugo rješenje

Iz prve jednadžbe dobivamo da je $a+b=-c$. Uvrštavanjem u drugu jednadžbu imamo

$$0=ab+bc+ca=ab+c(a+b)=ab-c^2,$$

odnosno $ab=c^2$. Analogno dobivamo $bc=a^2$ i $ca=b^2$. Sada možemo nastaviti na razne načine.

Prvi način

Pretpostavimo da nisu $|a|$, $|b|$, $|c|$ svi jednaki. Neka je, bez smanjenja općenitosti, $|a|<|b|$. Tada je

$$|b^2|=|ac|=|a||c|<|b||c|=|bc|=|a^2|,$$

tj. $|b|^2<|a|^2$, no to je u kontradikciji s pretpostavkom.

Drugi način

Iz dobivenih jednakosti slijedi da je

$$|a||b|=|c|^2,\qquad |b||c|=|a|^2,\qquad |c||a|=|b|^2.$$

Dijeljenjem prvih dviju jednakosti dobivamo

$$\frac{|a|}{|c|}=\frac{|c|^2}{|a|^2},$$

odnosno $|a|^3=|c|^3$, tj. $|a|=|c|$. Analogno se pokaže da je $|a|=|b|$ pa vrijedi $|a|=|b|=|c|$.

Treći način

Kao i u drugom načinu, imamo $|a||b|=|c|^2$ i $|b||c|=|a|^2$. Zbrajanjem dobivamo

$$|a|^2+|b|^2+|c|^2=|a||b|+|b||c|+|c||a|,$$

odnosno

$$(|a|-|b|)^2+(|b|-|c|)^2+(|c|-|a|)^2=0,$$

odakle zaključujemo da je $|a|=|b|=|c|$.

Treće rješenje

Ukoliko je jedan od brojeva $a$, $b$, $c$ jednak nuli, lako se vidi da su i preostala dva jednaka nuli pa je tražena jednakost očito zadovoljena. Stoga pretpostavimo da su sva tri broja različita od nule. Dijeljenjem drugog uvjeta s $abc$ dobijemo

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=0.$$

Uvrštavanjem $c=-a-b$ u gornju jednakost redom dobivamo

$$\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b},$$ $$b(a+b)+a(a+b)=ab,$$ $$a^2+ab+b^2=0.$$

Odavde slijedi

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0,$$

odnosno $a^3=b^3$, iz čega slijedi da je $|a|=|b|$. Na analogan način dokaže se da je $|a|=|c|$, pa slijedi tražena tvrdnja.

Napomena. Vrijedi $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=0$, no iz $a^2+b^2+c^2=0$ ne slijedi $a=b=c=0$.