1. Zadatak

Prvo rješenje

Činjenicu da $\log_b a$, $\log_{2b}(2a)$ i $\log_{4b}(4a)$ čine aritmetički niz možemo zapisati kao

$$\log_{2b}(2a)=\frac12\left(\log_b a+\log_{4b}(4a)\right).$$

Kako vrijedi $\log_x y=\frac{\log_2 y}{\log_2 x}$, dalje imamo

$$2\cdot\frac{\log_2(2a)}{\log_2(2b)}=\frac{\log_2a}{\log_2b}+\frac{\log_2(4a)}{\log_2(4b)},$$

odnosno

$$2\cdot\frac{1+\log_2a}{1+\log_2b}=\frac{\log_2a}{\log_2b}+\frac{2+\log_2a}{2+\log_2b}.$$

Radi jednostavnijeg zapisa uvedimo supstituciju $A=\log_2a$, $B=\log_2b$. Tada je

$$2\cdot\frac{1+A}{1+B}=\frac AB+\frac{2+A}{2+B}.$$

Pomnožimo tu jednakost s $B(1+B)(2+B)$ i sredimo:

$$2B(2+B)(1+A)=A(1+B)(2+B)+(2+A)B(1+B),$$ $$4B+4AB+2B^2+2AB^2=2A+2AB+AB+AB^2+2B+2B^2+AB+AB^2.$$

Konačno dobivamo $A=B$, tj. $\log_2a=\log_2b$, pa je $a=b$, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje

Neka je

$$x=\log_ba,\qquad y=\log_{2b}(2a),\qquad z=\log_{4b}(4a).$$

Tada je $b^x=a$, $(2b)^y=2a$, $(4b)^z=4a$. Iz uvjeta zadatka je $2y=x+z$. Računamo:

$$4a^2=(2b)^{2y}=(2b)^{x+z}=2^{x+z}\cdot b^x\cdot b^z=2^{x+z}\cdot a\cdot\frac{4a}{4^z}=2^{x-z}\cdot4\cdot a^2.$$

Odatle je $2^{x-z}=1$ pa slijedi $x=z$. Sada možemo nastaviti na dva načina.

Prvi način

Iz $2y=x+z$ slijedi $x=y=z$. Zbog $(2b)^y=2a$, imamo

$$2a=(2b)^{\log_ba}=2^{\log_ba}\cdot b^{\log_ba}=2^{\log_ba}\cdot a,$$

odakle slijedi $2^{\log_ba}=2$ te konačno $\log_ba=1$ i $a=b$, što je i trebalo dokazati.

Drugi način

Zbog $x=z$ i definicije broja $z$ vrijedi

$$(4b)^x=(4b)^z=4a=4b^x.$$

Slijedi $4^x\cdot b^x=4\cdot b^x$ pa je $4^x=4$, odnosno $x=1$. Sada je konačno $a=b^x=b^1=b$.