2. Zadatak

Neka je $C$ vrh nasuprot hipotenuze danog trokuta.

Kvadrati $BCNM$ i $CAQP$ imaju stranicu duljine $a$ i površinu $a^2$, dok je duljina stranice kvadrata $ABLK$ jednaka $a\sqrt2$, a površina $2a^2$.

Trokut $CNP$ je jednakokračan i pravokutan, sukladan danom trokutu, pa je $P_{ABC}=P_{CNP}=\dfrac{a^2}{2}$.

Jasno je da su trokuti $BLM$ i $AKQ$ međusobno sukladni i stoga jednake površine.

Kako su točke $M$, $B$ i $K$ kolinearne, a $AL\perp BK$, zaključujemo da je nožište visine iz vrha $L$ na stranicu $BM$ upravo središte $O$ kvadrata $ABLK$. Stoga je duljina te visine jednaka $a$, pa površina trokuta $MBL$ iznosi $\dfrac{|LO|\cdot|BM|}{2}=\dfrac{a^2}{2}$.

Sada lako odredimo površinu šesterokuta:

$$\begin{aligned} P&=P_{ABC}+P_{ABLK}+P_{BCNM}+P_{ACPQ}+P_{AQK}+P_{BLM}+P_{CNP}\\ &=\frac{a^2}{2}+2a^2+2a^2+2\cdot\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=6a^2. \end{aligned}$$

Uočimo da je $LM$ hipotenuza pravokutnog trokuta $LOM$, pa vrijedi

$$|LM|=\sqrt{|MO|^2+|OL|^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt5.$$

Odredimo sada opseg šesterokuta $KLMNPQ$:

$$\begin{aligned} O&=|KL|+|LM|+|MN|+|NP|+|PQ|+|QK|\\ &=a\sqrt2+a\sqrt5+a+a\sqrt2+a+a\sqrt5=2a(1+\sqrt2+\sqrt5). \end{aligned}$$