4. Zadatak

Označimo sjecišta pravaca $CM$ i $CN$ s pravcem $AB$ redom s $G$ i $H$.

Kako su točke $D$, $E$ i $F$ dirališta upisane kružnice trokuta $ABC$, vrijede jednakosti

$$|AD|=|AF|,\qquad |BD|=|BE|,\qquad |CF|=|CE|.$$

Primjenom Talesovog teorema za kut $\angle ABC$ te paralelne pravce $DE$ i $GC$, iz jednakosti $|BD|=|BE|$ zaključujemo $|GD|=|CE|$.

Analogno, primjenom Talesovog teorema za kut $\angle CAB$ te paralelne pravce $DF$ i $HC$, iz jednakosti $|AD|=|AF|$ zaključujemo $|DH|=|CF|$.

Iz dobivenih jednakosti zaključujemo

$$|DH|=|CF|=|CE|=|GD|,$$

odakle slijedi da je točka $D$ polovište dužine $GH$.

Promotrimo trokut $CGH$. Dužina $DM$ paralelna je sa stranicom $CH$ te prolazi polovištem jedne stranice tog trokuta. Zato je to srednjica tog trokuta, odnosno $M$ je polovište dužine $CG$.

Analogno, zaključujemo da je $N$ polovište dužine $CH$.

Iz prethodna dva rezultata zaključujemo da je $MN$ srednjica trokuta $GHC$.

Konačno, kako je pravac $MN$ paralelan s pravcem $AB$ te je jednako udaljen od točke $C$ kao i od pravca $AB$, zaključujemo da pravac $MN$ sadrži srednjicu trokuta $ABC$, što je i trebalo dokazati.