2. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo prvo da niti jedan od brojeva $x$, $y$, $z$ ne može biti jednak $0$, jer bi tada lijeva strana neke od jednadžbi bila jednaka nuli.

Neka su brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da je

$$a=\frac1x,\qquad b=\frac1y,\qquad c=\frac1z.$$

Uzimanjem recipročne vrijednosti na obje strane svih jednadžbi sustava i uvrštavanjem novih nepoznanica dobivamo

$$4a-3b=\frac1{20},$$ $$2c-3a=\frac1{15},$$ $$4c-5b=\frac1{12}.$$

Pomnožimo prvu jednadžbu s $3$ i drugu s $4$ te ih zbrojimo. Dobivamo

$$8c-9b=\frac5{12}.$$

Oduzmimo sada od dobivene jednadžbe treću jednadžbu sustava pomnoženu s dva, dobivamo $b=\frac14$.

Uvrštavanjem vrijednosti $b$ u sustav po nepoznanicama $a$, $b$ i $c$ dobivamo: $a=\frac15$ i $c=\frac13$.

Budući da su $a$, $b$ i $c$ recipročne vrijednosti nepoznanica $x$, $y$ i $z$, dobivamo

$$x=5,\qquad y=4,\qquad z=3.$$

Provjerom vidimo da nijedan od nazivnika lijevih strana početnog sustava nije jednak nuli, te da su dobivene vrijednosti za $x$, $y$ i $z$ uistinu (jedino) rješenje sustava.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, zaključujemo da su $x$, $y$, $z$ različiti od $0$.

Množeći sve jednadžbe s odgovarajućim nazivnicima, dobivamo

$$xy=80y-60x,$$ $$xz=30x-45z,$$ $$zy=48y-60z.$$

Izrazimo iz prvih dviju jednadžbi $y$ i $z$ preko $x$. Dobivamo

$$y=\frac{-60x}{x-80},$$ $$z=\frac{30x}{x+45}.$$

Uvrstimo li dobivene izraze za $y$ i $z$ u treću jednadžbu, nakon sređivanja dobivamo

$$zy=48y-60z,$$ $$\frac{30x}{x+45}\cdot\frac{-60x}{x-80} =48\cdot\frac{-60x}{x-80}-60\cdot\frac{30x}{x+45},$$ $$30x^2=(48(x+45)+30(x-80))x,$$ $$30x^2=78x^2+2160x-2400x,$$ $$48x^2-240x=0,$$ $$x^2-5x=0,$$ $$x(x-5)=0.$$

Rješenja posljednje jednadžbe su $x=0$ i $x=5$. Kako smo već pokazali da $x$ ne može biti jednak $0$, ostaje jedino mogućnost da je $x=5$.

Iz izraza u kojima smo $y$ i $z$ izrazili preko $x$, dobivamo $y=4$, te $z=3$.

Kao u prošlom rješenju, provjeravamo da nijedan nazivnik nije nula, pa zaključujemo da dobiveni brojevi zaista čine rješenje početnog sustava.