6. Zadatak

Znajući duljinu visine $v=6$ i površinu $P=72$, iz

$$P=\frac12(a+c)v$$

slijedi $a+c=24$, gdje je $a$ dulja, a $c$ kraća osnovica.

Trapez je upisan u kružnicu pa mora biti jednakokračan. Stoga je duljina kraka $b=2\sqrt{10}$.

Iz

$$v^2+\left(\frac{a-c}{2}\right)^2=b^2$$

dobivamo

$$\frac{a-c}{2}=\sqrt{\left(2\sqrt{10}\right)^2-6^2}=2.$$

Sada je $a+c=24$, $a-c=4$, pa je $a=14$ i $c=10$.

Neka su $M$ i $N$ polovišta osnovica trapeza $ABCD$ kao na slici. Da bismo odredili polumjer opisane kružnice uočimo pravokutne trokute $AMS$ i $DNS$.

Vrijedi

$$|AM|^2+|MS|^2=|AS|^2 \qquad\text{i}\qquad |DN|^2+|NS|^2=|DS|^2.$$

Neka je polumjer kružnice $R$ i neka je $|MS|=x$.

Nismo sigurni leži li središte kružnice unutar ili izvan trapeza. Zato imamo dvije mogućnosti:

$$|NS|=6-x\qquad\text{ili}\qquad |NS|=6+x.$$

U prvom slučaju dobivamo sustav

$$\begin{cases} 7^2+x^2=R^2,\\ 5^2+(6-x)^2=R^2. \end{cases}$$

Oduzimanjem dobivamo

$$(49+x^2)-(25+36-12x+x^2)=0,$$

odnosno $12x=12$, pa je $x=1$ i konačno $R^2=50$.

Polumjer kružnice je $5\sqrt2$.

Drugi slučaj vodi na sustav

$$\begin{cases} 7^2+x^2=R^2,\\ 5^2+(6+x)^2=R^2, \end{cases}$$

iz kojeg dobivamo $x=-1<0$, pa ovaj slučaj otpada.