7. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj brojeva manjih od $2011$ koji su djeljivi s $2$ ima

$$\left\lfloor\frac{2010}{2}\right\rfloor=1005.$$

Među njima je

$$\left\lfloor\frac{1005}{5}\right\rfloor=201$$

brojeva djeljivih s $5$, pa ima $1005-201=804$ brojeva manjih od $2011$ djeljivih s $2$ koji nisu djeljivi s $5$.

Slično, sa $7$ je djeljivo

$$\left\lfloor\frac{2010}{7}\right\rfloor=287$$

brojeva manjih od $2011$, a među njima je

$$\left\lfloor\frac{287}{5}\right\rfloor=57$$

brojeva djeljivih s $5$, pa ima $287-57=230$ brojeva djeljivih sa $7$ koji nisu djeljivi s $5$.

S $14$ je djeljivo

$$\left\lfloor\frac{2010}{14}\right\rfloor=143$$

brojeva, od njih je

$$\left\lfloor\frac{143}{5}\right\rfloor=28$$

djeljivo s $5$, pa ima $143-28=115$ brojeva djeljivih s $14$ ali ne i s $5$.

Konačno, traženi broj je

$$804+230-115=919.$$

Drugo rješenje.

Prirodnih brojeva manjih od $2011$ djeljivih s $2$ ima

$$\left\lfloor\frac{2010}{2}\right\rfloor=1005,$$

djeljivih sa $7$ ima

$$\left\lfloor\frac{2010}{7}\right\rfloor=287,$$

a djeljivih sa $14$ ima

$$\left\lfloor\frac{2010}{14}\right\rfloor=143.$$

Odatle slijedi da ima

$$1005+287-143=1149$$

prirodnih brojeva manjih od $2011$ koji su djeljivi s $2$ ili sa $7$.

Od tih brojeva preostaje izuzeti one djeljive s $5$, odnosno višekratnike brojeva $10$ i $35$.

Kako je među njima

$$\left\lfloor\frac{2010}{10}\right\rfloor=201$$

višekratnik broja $10$,

$$\left\lfloor\frac{2010}{35}\right\rfloor=57$$

višekratnika broja $35$, te

$$\left\lfloor\frac{2010}{70}\right\rfloor=28$$

višekratnika broja $70$, slijedi da je među gornjih $1149$ brojeva $201+57-28=230$ višekratnika broja $5$.

Konačno, ima $1149-230=919$ prirodnih brojeva manjih od $2011$ koji su djeljivi s $2$ ili sa $7$, a nisu djeljivi s $5$.

Treće rješenje.

Odredimo među brojevima od $1$ do $70$ one koji su djeljivi barem jednim od brojeva $2$ i $7$, a nisu djeljivi brojem $5$:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70

To su brojevi koji završavaju znamenkama $2$, $4$, $6$ ili $8$ te još brojevi $7$, $21$, $49$ i $63$. Takvih brojeva od $1$ do $70$ ima $32$.

Isto se ponavlja i za naredne grupe po $70$ brojeva.

Kako je $70\cdot28=1960$, među brojevima od $1$ do $1960$ ima $32\cdot28$ brojeva koji zadovoljavaju uvjet zadatka.

Među brojevima od $1961$ do $2010$ nalaze se još $23$ takva broja. (Brojeve od $1961$ do $2010$ možemo zamijeniti brojevima od $1$ do $50$ i pogledati gornju listu.)

Stoga je konačni rezultat

$$32\cdot28+23=896+23=919.$$