8. Zadatak

Prvo rješenje.

Sređivanjem zadane jednakosti dobivamo:

$$z^2-xz-yz-xy=0.$$

To možemo zapisati npr. ovako:

$$z^2-xz-y(z+x)=0,$$ $$z(z+x)-2xz-y(z+x)=0,$$ $$(z+x)(z-y)=2xz. \tag{A}$$

… ili na neki od sličnih načina:

$$(z-x)(z+y)=2yz, \tag{B}$$ $$(z-x)(z-y)=2xy. \tag{C}$$

Bilo koja od jednakosti (A), (B), (C) vrijedi.

Pretpostavimo da postoje neparni cijeli brojevi $x$, $y$ i $z$ za koje vrijedi dana jednakost. Tada su obje zagrade na lijevoj strani od (A) (ili (B) ili (C)) parne, pa je lijeva strana te jednakosti djeljiva sa $4$.

No, desna strana nije djeljiva s $4$, pa dobivamo kontradikciju.

Prema tome, ne postoje neparni cijeli brojevi $x$, $y$ i $z$ za koje vrijedi zadana jednakost.

Drugo rješenje.

Raspisivanjem zadane jednakosti dobije se

$$z^2-xz-yz=xy,$$

što možemo zapisati u obliku

$$y(z+x)=z^2-zx. \tag{*}$$

Ako je $z+x=0$, odnosno $z=-x$, iz zadane jednakosti slijedi

$$(x+x)^2+(y+x)^2=(x+y)^2,$$

odnosno $4x^2=0$, pa je $x=z=0$ (i $y\in\mathbb{R}$), pa $x$ i $z$ nisu neparni.

Ako je $z+x\ne0$, iz (*) slijedi

$$y=\frac{z^2-zx}{z+x} =\frac{z^2+zx-2zx}{z+x} =z-\frac{2zx}{z+x}.$$

Pod pretpostavkom da su $x$ i $z$ neparni cijeli brojevi, ako je i broj $\dfrac{2zx}{z+x}$ cijeli on je sigurno neparan, pa je $y$ paran. Stoga ne postoje neparni cijeli brojevi $x$, $y$ i $z$ za koje vrijedi zadana jednakost.

Treće rješenje.

Pretpostavimo postoje neparni $x$, $y$, $z$ za koje vrijedi dana jednakost. Tada postoje $a,b,c\in\mathbb{Z}$ takvi da je $x=2a-1$, $y=2b-1$, $z=2c-1$.

Uvrštavanjem u zadanu jednakost dobivamo

$$(2a-2c)^2+(2b-2c)^2=(2a+2b-2)^2,$$

odnosno nakon dijeljenja s $4$

$$(a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-1)^2. \tag{⋄}$$

Prvi slučaj: Brojevi $a$ i $b$ su iste parnosti (tj. oba parna ili oba neparna).

Tada su i brojevi $a-c$ i $b-c$ iste parnosti. Tada je lijeva strana jednakosti (⋄) paran broj.

Budući da su $a$ i $b$ iste parnosti, broj $a+b-1$ je neparan pa je desna strana neparan broj, što je kontradikcija.

Drugi slučaj: Brojevi $a$ i $b$ su različite parnosti (tj. jedan paran, a drugi neparan).

Tada su i brojevi $a-c$ i $b-c$ različite parnosti. Tada je lijeva strana jednakosti (⋄) neparan broj.

Budući da su $a$ i $b$ različite parnosti, broj $a+b-1$ je paran pa je desna strana paran broj, što je kontradikcija.

Kako svi slučajevi vode na kontradikciju zaključujemo da je pretpostavka pogrešna, tj. da ne postoje neparni brojevi $x$, $y$, $z$ koji bi zadovoljavali jednakost iz zadatka.