8. Zadatak

Neka je $\log_2(x^2-4x-1)=k$, $k\in\mathbb Z$. Tada je $x^2-4x-1=2^k$, odnosno $(x-2)^2=5+2^k$ $(\ast)$. Ako je $x$ cijeli broj, $2^k$ mora biti cijeli broj, pa je $k\ge0$. Za $k=0$ dobivamo jednadžbu $(x-2)^2=6$ koja nema rješenja u $\mathbb Z$. Za $k>0$, broj $5+2^k$ je neparan, pa i $x$ mora biti neparan. Uvrstimo $x=2n+1$ u $(\ast)$:

$$\begin{aligned} (2n-1)^2&=5+2^k,\quad4n^2-4n+1=5+2^k,\\ 2^k&=4(n(n-1)-1),\quad2^{k-2}=n(n-1)-1. \end{aligned}$$

Na desnoj strani je neparan broj, a to je jedino moguće za $k=2$. Tada je $n(n-1)=2$; $n=2$ ili $n=-1$; $x=5$ ili $x=-1$. Jedino za $x=-1$ i $x=5$ vrijednost izraza $\log_2(x^2-4x-1)$ je cijeli broj.