7. Zadatak

Jednakost koju treba dokazati može se zapisati ovako:

$$r\left(\operatorname{ctg}\frac\alpha2+\operatorname{ctg}\frac\beta2\right)=4R\sin^2\frac\gamma2\operatorname{ctg}\frac\gamma2.$$

Zbog

$$\sin^2\frac\gamma2\operatorname{ctg}\frac\gamma2=\sin\frac\gamma2\cos\frac\gamma2=\frac12\sin\gamma,$$

potrebno je još pokazati da vrijedi

$$r\left(\operatorname{ctg}\frac\alpha2+\operatorname{ctg}\frac\beta2\right)=2R\sin\gamma.$$

Neka je $ABC$ promatrani trokut, $S$ središte njegove upisane kružnice te $D$ diralište upisane kružnice i stranice $\overline{AB}$.

Zbog sinusovog poučka je $2R\sin\gamma=c=|AB|$.

Iz trokuta $ADS$ je $|AD|=r\operatorname{ctg}\frac\alpha2$, a iz trokuta $BDS$: $|BD|=r\operatorname{ctg}\frac\beta2$.

Dakle $c=|AB|=|AD|+|DB|=r\left(\operatorname{ctg}\frac\alpha2+\operatorname{ctg}\frac\beta2\right)$, pa slijedi

$$r\left(\operatorname{ctg}\frac\alpha2+\operatorname{ctg}\frac\beta2\right)=2R\sin\gamma$$

te stoga vrijedi i jednakost iz zadatka.