5. Zadatak

Antonija je zamislila $6$ različitih realnih brojeva, a zatim je na ploču napisala sve moguće zbrojeve dvaju, ne nužno različitih, zamišljenih brojeva. Kada je Branku rekla da su najmanja dva od zamišljenih brojeva $2024$ i $4048$ , Branko je zaključio da koji god preostali brojevi bili, broj različitih brojeva na ploči nije mogao biti manji.

a) Koliko je različitih brojeva na ploči?

b) Koliki sve može biti najveći broj koji je Antonija zamislila?

Neka su $x_1=2024$ , $x_2=4048$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ i $x_6$ Antonijini zamišljeni brojevi poredani po veličini od manjih prema većim. Promotrimo $11$ zbrojeva

x_1+x_1,\ x_1+x_2,\ x_2+x_2,\ x_2+x_3,\ \ldots,\ x_5+x_6,\ x_6+x_6.

To je $11$ različitih zbrojeva (i oni su poredani od manjih prema većim) pa Branko na ploči vidi barem $11$ različitih brojeva. Dokazat ćemo da je to ujedno najmanji mogući broj različitih brojeva na ploči.

Promotrimo zbroj $x_1+x_3$ . Da bi na ploči bilo točno $11$ različitih brojeva, mora biti jednak jednom od gore zapisanih zbrojeva. Kako je $x_1<x_2<x_3$ , nužno je

x_1+x_2<x_1+x_3<x_2+x_3

pa je jedino moguće da je jednak zbroju $x_2+x_2$ . Dobivamo da je

x_3=x_2+x_2-x_1=3\cdot2024.

Promotrimo sada zbroj $x_2+x_4$ . Sličnim zaključivanjem, taj broj je veći od $x_2+x_3$ i manji od $x_3+x_4$ , pa je jedino moguće jednak zbroju $x_3+x_3$ . Dobivamo da je

x_4=x_3+x_3-x_2=4\cdot2024.

Zaključujući slično dalje promatrajući zbrojeve $x_3+x_5$ i $x_4+x_6$ zaključujemo $x_5=5\cdot2024$ i $x_6=6\cdot2024$ .

S druge strane, za brojeve $x_k=k\cdot2024$ ( $k=1,\ldots,6$ ) zaista vrijedi da je broj različitih zbrojeva ne nužno različitih parova brojeva jednak $11$ : svi takvi zbrojevi višekratnici su broja $2024$ , od $2\cdot2024$ do $12\cdot2024$ . To dokazuje da je moguće da se na ploči nalazi samo $11$ različitih brojeva, pa je to najmanji takav broj $n$ . Najveći Antonijin zamišljeni broj je nužno $x_6=6\cdot2024=12144$ .