4. Zadatak

Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje sustava različito od $x=y=z=1$. Ako bi u takvom rješenju bilo $x=1$, tada iz zadnje jednadžbe vidimo da je $z^3=1$, odnosno $z=1$, te je onda iz druge jednadžbe $y^3=1$, odnosno $y=1$. Dakle, za bilo koje drugo rješenje jednadžbe nužno je $x\neq1$.

Pretpostavimo da je $x>1$. Tada je $x^3>1$, pa je $x^3+x>2$. Zato iz zadnje jednadžbe imamo

$$z^3=x^3+(x^3+x-2)>x^3.$$

To je moguće samo ako je $z>x$. Posebno, zbog $x>1$, zaključujemo da je $z>1$.

Kako je $z>1$, iz druge jednadžbe analogno dobivamo

$$y^3=z^3+(z^3+z-2)>z^3,$$

odakle zaključujemo da je $y>z$, te posebno $y>1$.

Konačno, koristeći $y>1$ iz prve jednadžbe slijedi

$$x^3=y^3+(y^3+y-2)>y^3,$$

odakle zaključujemo $x>y$. Dobili smo niz nejednakosti $x>y>z>x$ koje očito ne mogu biti zadovoljene, čime dobivamo kontradikciju.

Pretpostavimo sada da je $x<1$. Tada je $x^3<1$, pa je $x^3+x<2$, pa iz zadnje jednadžbe imamo

$$z^3=x^3+(x^3+x-2)<x^3,$$

što je moguće samo ako je $z<x$. Posebno, zbog $x<1$ zaključujemo $z<1$.

Sada iz druge jednadžbe na analogan način zaključujemo

$$y^3=z^3+(z^3+z-2)<z^3,$$

odnosno $y<z<1$, a iz prve jednadžbe

$$x^3=y^3+(y^3+y-2)<y^3,$$

dobivamo $x<y$. Ponovno dobivamo kontradikciju, jer nije moguće da vrijede nejednakosti $x<y<z<x$.

Zaista, $x=y=z=1$ jedino je rješenje ovog sustava jednadžbi.