4. Zadatak

Prvo rješenje.

Možemo faktorizirati

$$t=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$

tj. $t=s(a^2+ab+b^2)$.

Nakon dijeljenja sa $s$ ($s\ne0$) dobivamo

$$a^2+ab+b^2=\frac{t}{s}.$$

Kubiranjem $s=a-b$ dobivamo

$$s^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=t-3abs.$$

Dakle, $s^3=t-3abs$, iz čega lako izražavamo

$$ab=\frac{t-s^3}{3s}.$$

Konačno dobivamo

$$(a+b)^2=(a^2+ab+b^2)+ab =\frac{t}{s}+\frac{t-s^3}{3s} =\frac{4t-s^3}{3s}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, izrazimo

$$a^2+ab+b^2=\frac{t}{s}.$$

Kvadriranjem $s=a-b$ dobivamo

$$s^2=a^2-2ab+b^2.$$

Vrijedi

$$(a^2+ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=3ab,$$

tj.

$$ab=\frac13\left(\frac{t}{s}-s^2\right)=\frac{t}{3s}-\frac{s^2}{3}.$$

Konačno je

$$\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2=(a^2+ab+b^2)+ab\\ &=\frac{t}{s}+\left(\frac{t}{3s}-\frac{s^2}{3}\right) =\frac43\cdot\frac{t}{s}-\frac13s^2. \end{aligned}$$