5. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da promatramo brojeve djeljive sa 5, zadnja znamenka im je 0 ili 5.

Prebrojimo prvo brojeve koji završavaju sa 0, tj. one oblika $abc0$. Znamenke $a$, $b$ i $c$ moraju biti različite od 0, pa su $a,b,c\in\{1,2,3,4,5\}$. Znamenku $a$ možemo odabrati na 5 načina, znamenku $b$ na 4 načina tako da bude različita od $a$, a znamenku $c$ na 3 načina tako da bude različita od $a$ i $b$. Slijedi da postoji $5\cdot4\cdot3=60$ promatranih četveroznamenkastih brojeva koji završavaju sa 0.

Prebrojimo sad brojeve koji završavaju sa 5, tj. one oblika $abc5$. Znamenke $a$, $b$, $c$ biramo iz skupa $\{0,1,2,3,4\}$, ali pritom $a$ ne smije biti 0 (u suprotnom, broj ne bi bio četveroznamenkast). Broj $a$ možemo izabrati na 4 načina. Nakon toga, budući da $b$ i $c$ smiju biti 0, znamenku $b$ također možemo odabrati na 4 načina, a $c$ na 3 načina. Slijedi da ima $4\cdot4\cdot3=48$ promatranih četveroznamenkastih brojeva koji završavaju sa 5.

Sveukupno ima $60+48=108$ takvih brojeva.

Drugo rješenje.

Budući da promatramo brojeve djeljive sa 5, zadnja znamenka im je 0 ili 5.

Kao i u prvom rješenju zaključujemo da brojeva oblika $abc0$ ima $5\cdot4\cdot3=60$.

Kod brojeva oblika $abc5$ razlikujemo dva slučaja, ovisno o pojavljivanju znamenke 0.

• Ako se 0 ne pojavljuje, onda biramo tri različite znamenke iz skupa $\{1,2,3,4\}$, što možemo napraviti na $4\cdot3\cdot2=24$ načina.
• Ako se 0 pojavljuje, onda su to brojevi oblika $a0c5$ ili $ab05$. Preostale dvije znamenke biramo iz skupa $\{1,2,3,4\}$ i to možemo napraviti na $4\cdot3=12$ načina, pa ovakvih brojeva ima $2\cdot12=24$.

Ukupno ima $60+24+24=108$ takvih brojeva.

Treće rješenje.

Najprije odaberimo četiri različite znamenke $a,b,c,d$ od kojih u nekom poretku napravimo četveroznamenkasti broj. Razlikujemo četiri slučaja:

1. Ako su odabrane znamenke 1, 2, 3, 4, ne možemo dobiti broj djeljiv sa 5.
2. Ako smo odabrali 0, a nismo odabrali 5, onda nula mora biti zadnja znamenka. Ostale tri znamenke daju 6 kombinacija: $abc0$, $acb0$, $bac0$, $bca0$, $cab0$, $cba0$.
3. Ako smo odabrali 5, a nismo odabrali 0, tada zadnja znamenka mora biti 5, a ostale tri znamenke daju 6 kombinacija: $abc5$, $acb5$, $bac5$, $bca5$, $cab5$, $cba5$.
4. Ako smo odabrali i 0 i 5, onda su moguće kombinacije: $ab50$, $a5b0$, $ba50$, $b5a0$, $5ab0$, $5ba0$, $ab05$, $a0b5$, $ba05$, $b0a5$, i ima ih 10.

Odredimo sada koliko se puta javlja pojedini slučaj. U slučajevima 2) i 3) biramo tri znamenke $(a,b,c)$ iz skupa $\{1,2,3,4\}$, a to možemo napraviti na 4 načina. U slučaju 4) biramo dvije znamenke $(a,b)$ iz skupa $\{1,2,3,4\}$, a to možemo napraviti na 6 načina.

Znači da je traženi broj

$$6\cdot4+6\cdot4+10\cdot6=108.$$