6. Zadatak

Primijetimo da dani izraz možemo zapisati koristeći potencije brojeva 2 i 3:

$$3^{2n+1}-4^{n+1}+6^n =3^{2n+1}-4\cdot2^{2n}+2^n\cdot3^n,$$

a zatim faktorizirati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} 3^{2n+1}-4^{n+1}+6^n &=3\cdot3^{2n}-3\cdot2^{2n}-2^{2n}+2^n\cdot3^n\\ &=3(3^{2n}-2^{2n})+2^n(3^n-2^n)\\ &=3(3^n-2^n)(3^n+2^n)+2^n(3^n-2^n)\\ &=(3^n-2^n)(3^{n+1}+2^{n+2}). \end{aligned}$$

Da bi dobiveni umnožak bio prost broj, jedan od faktora mora biti jednak 1.

Očito je $3^{n+1}+2^{n+2}>1$, pa mora biti $3^n-2^n=1$.

Ako je $n\ge2$, onda je $3^n-2^n>1$.

Za $n=1$ vrijedi $3^n-2^n=1$, a promatrani broj je jednak 17 (prost broj).

Zato je jedino rješenje $n=1$.