7. Zadatak

Označimo $\angle ABC=\beta$. Tada je $\angle BCA=3\beta$.

Kut $\angle BAB_0$ je vanjski kut uz vrh $A$, pa je $\angle BAB_0=4\beta$. Zato je $\angle A_0AC=2\beta$ (pravac $AA_0$ je simetrala kuta $\angle BAB_0$).

Kut $\angle BCA$ je vanjski kut trokuta $ACA_0$, pa vrijedi

$$\angle AA_0C=\angle BCA-\angle A_0AC=3\beta-2\beta=\beta.$$

Primjećujemo da je trokut $ABA_0$ jednakokračan jer je $\angle AA_0B=\angle ABA_0=\beta$. Zato vrijedi $|AB|=|AA_0|$.

Prema zadatku je $|AA_0|=|BB_0|$, pa slijedi $|AB|=|BB_0|$.

Zato je trokut $ABB_0$ jednakokračan i vrijedi $\angle BAB_0=\angle BB_0A$.

Kako je $\angle BAB_0=4\beta$, treći kut tog trokuta je

$$\angle ABB_0=180^\circ-2\angle BAB_0=180^\circ-8\beta.$$

No ujedno je $\angle ABB_0$ polovica vanjskog kuta uz vrh $B$, pa je

$$\angle ABB_0=90^\circ-\frac{\beta}{2}.$$

Dakle vrijedi

$$180^\circ-8\beta=90^\circ-\frac{\beta}{2},$$

odakle dobivamo $\beta=12^\circ$.

Kutovi danog trokuta su

$$\angle ABC=12^\circ,\qquad \angle BCA=36^\circ,\qquad \angle CAB=132^\circ.$$