2. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da su opsezi jednaki, omjer duljina stranica šesterokuta i trokuta je $1:2$.

Šesterokut možemo podijeliti na šest, a trokut na četiri međusobno sukladna jednakostranična trokuta (čija je duljina stranice jednaka duljini stranice šesterokuta).

Zato je omjer njihovih površina $6:4$, tj. $3:2$.

Drugo rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice pravilnog šesterokuta, a $b$ duljina stranice jednakostraničnog trokuta. Budući da su opsezi jednaki, slijedi da je $6a=3b$, tj. $2a=b$.

Šesterokut se sastoji od 6 sukladnih jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine $a$, pa mu je površina jednaka

$$P_6=6\cdot\frac14a^2\sqrt3=\frac32a^2\sqrt3.$$

Površina trokuta stranice $b$ iznosi

$$P_3=\frac14b^2\sqrt3,$$

pa je

$$P_6:P_3=6a^2:b^2.$$

Zbog $2a=b$, traženi omjer je jednak

$$P_6:P_3=3:2.$$

Umjesto korištenja formule za površinu jednakostraničnog trokuta moguće je koristiti tvrdnju da je omjer površina jednakostraničnih trokuta sa stranicama $a$ i $b$ jednak $a^2:b^2$.