3. Zadatak

Iz prve jednadžbe svođenjem na zajednički nazivnik slijedi $zx+xy=3(x+y+z)$. Analogno zapišemo i druge dvije jednadžbe pa dobivamo sustav u nešto drukčijem obliku:

$$\begin{aligned} zx+xy&=3(x+y+z), &&(1)\\ xy+yz&=5(x+y+z), &&(2)\\ yz+zx&=7(x+y+z). &&(3) \end{aligned}$$

Sustav možemo riješiti po $xy$, $yz$ i $zx$ na sljedeći način. Zbrojimo li (1) i (2), te od zbroja oduzmemo (3), dobivamo $2xy=x+y+z$. Na sličan način dobivamo $2yz=9(x+y+z)$ i $2zx=5(x+y+z)$.

Dakle, vrijedi

$$x+y+z=2xy=\frac29yz=\frac25zx.$$

Budući da iz zadanih jednadžbi znamo $x\ne0$, $y\ne0$ i $z\ne0$, zaključujemo $9x=5y=z$.

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo $x=\frac{59}{18}$. Također imamo i $y=\frac{59}{10}$, $z=\frac{59}{2}$. Provjerom lako utvrdimo da je

$$(x,y,z)=\left(\frac{59}{18},\frac{59}{10},\frac{59}{2}\right)$$

zaista rješenje zadanog sustava.