4. Zadatak

Broj $c$ je prirodan ako i samo ako je i

$$\frac ba-\frac1b=\frac{b^2-a}{ab}$$

cijeli broj. Zaključujemo da $b$ mora dijeliti $b^2-a$, pa $b$ dijeli $a$. Zato možemo pisati $a=kb$ za neki $k\in\mathbb N$.

Odavde je

$$\frac{b^2-a}{ab}=\frac{b-k}{bk}.$$

Dakle, $b-k$ mora biti djeljiv i brojem $b$, i brojem $k$. Zaključujemo da $b$ dijeli $k$ i $k$ dijeli $b$, pa slijedi $b=k$, a stoga i $a=b^2$.

Dakle,

$$c=a+\frac ba-\frac1b=b^2+\frac{b}{b^2}-\frac1b=b^2.$$