5. Zadatak

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5.

Odredi broj točaka svake boje.

Rješenje

Neka su $c$ , $p$ i $z$ redom brojevi crvenih, plavih i zelenih točaka. Prema uvjetima zadatka vrijedi $c+p+z=15$ , $c>p$ i $c>z$ .

Neka su $C$ , $P$ i $Z$ redom proizvoljna crvena, plava i zelena točka. Prema nejednakosti trokuta vrijedi

|CP|+|PZ|\ge |CZ|.

Zbrojimo li ove nejednakosti za sve crvene, plave i zelene točke, dobivamo

5z+25c\ge31p.

Analogno izvodimo

31p+5z\ge25c,\qquad 25c+31p\ge5z.

Uvrstimo li u prvu nejednakost $c=15-p-z$ , dobivamo $375\ge20z+56p$ . Dakle, vrijedi $375\ge56p$ , tj. $p\le6$ .

Uvrstimo li $z=15-c-p$ u drugu nejednakost, dobivamo $75+26p\ge30c$ . Zbog $p\le6$ zaključujemo $75+156\ge30c$ , tj. $c\le7$ .

Uvrstimo li $z=15-c-p$ u prvu nejednakost, dobivamo $75+20c\ge36p$ . Zbog $c\le7$ zaključujemo $75+140\ge36p$ , tj. $p\le5$ . Iz $75+26p\ge30c$ i $p\le5$ sada slijedi $c\le6$ .

Nadalje, $z=15-p-c\ge15-5-6=4$ .

Budući da je $6\ge c>p$ , $6\ge c>z\ge4$ i $c+p+z=15$ , zaključujemo da vrijedi $c=6$ , $p=5$ , $z=4$ ili $c=6$ , $p=4$ , $z=5$ .

Sve tri nejednakosti koje smo dobili za $c$ , $p$ i $z$ zadovoljava samo trojka $c=6$ , $p=5$ i $z=4$ , pa je to jedina mogućnost.

Napomena: Budući da je u tekstu zadatka navedeno da je konfiguracija točaka dana, nije potrebno konstruirati primjer kako bi se pokazalo da su dobiveni brojevi mogući. No, primjer koji to pokazuje je dan na sljedeći način.

Na brojevnom pravcu obojimo točke oblika $\frac{120}{k}$ (jer je $z\cdot p\cdot c=120$ ), pri čemu su zelene točke za koje je $k$ jednak $-2$ , $-1$ , $1$ i $2$ ; plave točke za koje $k$ iznosi $148$ , $149$ , $150$ , $151$ i $152$ ; te crvene točke za koje $k$ iznosi $134$ , $135$ , $136$ , $174$ , $175$ i $176$ . Primjer smo konstruirali tako što smo prvo grupirali zelene točke u $0$ , crvene u $\frac{120}{135}$ i $\frac{120}{175}$ , a plave u $\frac{120}{150}$ , te onda točke razmaknuli.