2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $S$ središte zadane kružnice, a $T$ sjecište dužina $SB$ i $AC$.

Kut $\angle ACD$ je pravi jer je obodni kut nad promjerom kružnice.

Uočimo da vrijedi $\angle ASB=\angle CSB$, pa je $\angle ABS=\angle CBS$. Prema poučku S–K–S slijedi da su trokuti $ABT$ i $CBT$ sukladni. Posebno, vrijedi $\angle ATB=\angle CTB$, pa zaključujemo $\angle ATB=90^\circ$, tj. $AT\perp BS$. Drugim riječima, $AT$ je visina trokuta $ASB$.

Neka je $v_a$ duljina visine trokuta $ASB$ iz vrha $S$. Budući da je $|AB|=1$, $|AS|=\frac32$, a trokut $ASB$ je jednakokračan, slijedi

$$v_a=\sqrt{\left(\frac32\right)^2-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt2.$$

Duljinu visine $AT$ možemo odrediti izražavajući površinu trokuta $ASB$ na dva načina:

$$\frac{|BS|\cdot|AT|}{2}=\frac{|AB|\cdot v_a}{2}.$$

Odavde slijedi $|AT|=\frac{2\sqrt2}{3}$, tj. $|AC|=2|AT|=\frac{4\sqrt2}{3}$ i konačno, prema Pitagorinom poučku,

$$|CD|=\sqrt{|AD|^2-|AC|^2}=\frac73.$$

Drugo rješenje.

Uočimo da su kutovi $\angle ABD$ i $\angle ACD$ pravi jer su obodni kutovi nad promjerom kružnice. Prema Pitagorinom poučku na trokut $ABD$ slijedi da je

$$|BD|=\sqrt{|AD|^2-|AB|^2}=2\sqrt2.$$

Označimo $|CD|=x$ i $|AC|=y$. Prema Pitagorinom poučku na trokut $ACD$ slijedi da je

$$y^2=|AC|^2=|AD|^2-|CD|^2=9-x^2.$$

Prema Ptolomejevom poučku za tetivni četverokut $ADCB$ vrijedi

$$y\cdot|BD|=|AD|\cdot|BC|+x\cdot|AB|,$$

tj. $y\cdot2\sqrt2=3+x$.

Uvrstimo li $y^2=\frac{(3+x)^2}{8}$ u $y^2=9-x^2$, dobivamo jednadžbu

$$3x^2+2x-21=0$$

s rješenjima $x=-3$ i $x=\frac73$. Dakle, $|CD|=\frac73$.