6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $D$ i $E$ nožišta okomica iz točke $M$ na pravce $AC$ i $BC$ redom.

Tada je $CDME$ pravokutnik čija je dijagonala $CM$ simetrala kuta $\angle ECD$. Dakle, $CDME$ je kvadrat.

Označimo $\alpha=\angle MAC$, $\beta=\angle MBC$ te $a=|BC|$, $b=|AC|$ i $d=|CD|$.

Budući da je $CDME$ kvadrat, vrijedi $|CM|=d\sqrt2$.

Budući da je $|AD|=b-d$, iz pravokutnog trokuta $AMD$ vidimo da vrijedi

$$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{b-d}{d}.$$

Analogno, $|BE|=a-d$, pa iz pravokutnog trokuta $BME$ vidimo da vrijedi

$$\operatorname{ctg}\beta=\frac{a-d}{d}.$$

Iz $\sin\alpha=\frac8{17}$ slijedi $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{15}{8}$, pa iz $\frac{b-d}{d}=\frac{15}{8}$ slijedi $b=\frac{23}{8}d$.

Iz $\cos\beta=\frac35$ slijedi $\operatorname{ctg}\beta=\frac34$, pa iz $\frac{a-d}{d}=\frac34$ slijedi $a=\frac74d$.

Prema Pitagorinom poučku vrijedi

$$\begin{aligned} |AB|^2&=a^2+b^2 =\left(\frac74d\right)^2+\left(\frac{23}{8}d\right)^2\\ &=\left(\frac{7^2}{4^2}+\frac{23^2}{8^2}\right)d^2 =\frac{49\cdot4+529}{8^2}d^2 =\frac{725}{64}d^2. \end{aligned}$$

Konačno, zbog $|CM|=d\sqrt2$, traženi omjer je

$$\frac{|AB|}{|CM|} =\sqrt{\frac{725}{2\cdot64}} =\frac{5\sqrt{29}}{8\sqrt2} =\frac{5\sqrt{58}}{16}.$$

Drugo rješenje.

Označimo $\angle MAC=\alpha$ i $\angle MBC=\beta$.

Promatrajući kutove trokuta $AMC$ dobivamo $\angle AMC=180^\circ-45^\circ-\alpha=135^\circ-\alpha$, a u trokutu $BMC$ vrijedi $\angle BMC=135^\circ-\beta$.

Primjenom sinusovog poučka na trokutu $AMC$ dobivamo

$$\frac{|AC|}{|CM|}=\frac{\sin(135^\circ-\alpha)}{\sin\alpha},$$

pa primjenom formule za sinus razlike slijedi

$$\frac{|AC|}{|CM|} =\frac{\sin135^\circ\cos\alpha-\cos135^\circ\sin\alpha}{\sin\alpha} =\sin135^\circ\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\cos135^\circ.$$

Kako je $\sin\alpha=\frac8{17}$, slijedi da je $\cos\alpha=\frac{15}{17}$ i

$$\frac{|AC|}{|CM|} =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{15}{8}+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{23\sqrt2}{16}.$$

Analogno, zaključujemo da je

$$\frac{|BC|}{|CM|} =\sin135^\circ\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-\cos135^\circ.$$

Zbog $\cos\beta=\frac35$ slijedi $\sin\beta=\frac45$ i

$$\frac{|BC|}{|CM|} =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac34+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{7\sqrt2}{8}.$$

Primjenom Pitagorinog teorema slijedi

$$\frac{|AB|^2}{|CM|^2} =\frac{|AC|^2+|BC|^2}{|CM|^2} =\frac{23^2\cdot2}{16^2}+\frac{7^2\cdot2}{8^2} =\frac{725}{128},$$

pa je

$$\frac{|AB|}{|CM|}=\frac{5\sqrt{29}}{8\sqrt2}.$$