1. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrštavanjem $\cos^2x+\sin^2x=1$ imamo

$$f(x)=-\sin^2x+\sin x+1.$$

Uz supstituciju $t=\sin x$ dobivamo funkciju $g(t)=-t^2+t+1$ za $t\in[-1,1]$ koja ima istu najmanju i najveću vrijednost kao i funkcija $f$.

Graf ove funkcije je kvadratna parabola s tjemenom u točki $t=\frac12$. Prema tome, funkcija raste do točke $t=\frac12$, a zatim pada.

Najveća vrijednost se poprima u tjemenu i iznosi $\frac54$.

Najmanja vrijednost se poprima u lijevom ili desnom rubu domene. U lijevom rubu domene je vrijednost $g(-1)=-1$, a u desnom $g(1)=1$, pa najmanja vrijednost funkcije iznosi $-1$.

Drugo rješenje.

Uvrštavanjem $\cos^2x+\sin^2x=1$ imamo

$$f(x)=-\sin^2x+\sin x+1.$$

Nadopunjavanjem do potpunog kvadrata dobivamo

$$f(x)=\frac54-\left(\sin x-\frac12\right)^2.$$

Zaključujemo da se najveća vrijednost postiže ako je $\sin x=\frac12$ i iznosi $\frac54$.

Najmanja vrijednost se postiže kad je vrijednost $\left|\sin x-\frac12\right|$ najveća. Budući da je $\sin x\in[-1,1]$, to je za $\sin x=-1$ i najmanja vrijednost funkcije $f$ je $-1$.