7. Zadatak

Prvo rješenje.

Dokazat ćemo da postoje dva kvadrata koji daju isti ostatak pri dijeljenju sa 20.

Svaki prirodan broj može se zapisati u obliku $n=20m+k$, $k=0,\ldots,19$, pa je

$$n^2=400m^2+40mk+k^2,$$

i $n^2$ daje isti ostatak pri dijeljenju sa 20 kao i $k^2$. Zato je dovoljno provjeriti koje sve ostatke pri dijeljenju sa 20 daju kvadrati brojeva $0,\ldots,19$.

Direktnom provjerom vidimo da su jedini mogući ostaci $0,1,4,5,9$ i $16$.

Budući da imamo 7 kvadrata, a 6 mogućih ostataka, prema Dirichletovom principu postoje dva kvadrata koji daju isti ostatak pri dijeljenju sa 20.

Drugo rješenje.

Dokazat ćemo da postoje dva kvadrata koji daju isti ostatak pri dijeljenju sa 4 i isti ostatak pri dijeljenju sa 5, iz čega slijedi da je njihova razlika djeljiva s oba broja pa onda i sa 20.

Da bismo odredili moguće ostatke pri dijeljenju kvadrata prirodnih brojeva sa 5 dovoljno je promotriti kvadrate brojeva $0,1,2,3,4$. Jedini mogući ostaci su $0,1$ i $4$.

Budući da imamo 7 kvadrata, a 3 moguća ostatka, prema Dirichletovom principu postoje tri kvadrata koja daju isti ostatak pri dijeljenju sa 5.

Jedini mogući ostaci pri dijeljenju kvadrata sa 4 su 0 i 1.

Opet prema Dirichletovom principu, od tri kvadrata koja daju isti ostatak pri dijeljenju sa 5 postoje dva koja daju isti ostatak pri dijeljenju sa 4.

Treće rješenje.

Zapišimo razliku kvadrata kao

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ako su $a$ i $b$ iste parnosti, tada su $a-b$ i $a+b$ parni, pa je $a^2-b^2$ djeljivo sa 4.

Prema Dirichletovom principu, od 7 brojeva postoje 4 iste parnosti.

Dokazat ćemo da među ta 4 broja postoje $a$ i $b$ takvi da je jedan od faktora $a-b$ i $a+b$ djeljiv sa 5.

Ako dva od ta 4 broja daju isti ostatak pri dijeljenju sa 5, tada je njihova razlika djeljiva sa 5, pa je i razlika kvadrata djeljiva sa 5.

Ako nikoja dva broja ne daju isti ostatak, tada daju 4 različita ostatka iz skupa $\{0,1,2,3,4\}$. Tada ili postoje ostaci 1 i 4, ili postoje ostaci 2 i 3. U oba slučaja njihov zbroj je djeljiv s 5, pa je razlika kvadrata djeljiva sa 5.