3. Zadatak

Iz jednadžbe elipse iščitavamo da je velika poluos $a=3$ i mala poluos $b=2$, odakle slijedi da je udaljenost žarišta elipse od ishodišta

$$e=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5.$$

Dakle, žarišta hiperbole su u točkama $(\pm3,0)$, a njezina tjemena u točkama $(\pm\sqrt5,0)$.

Sada zaključujemo da je jednadžba promatrane hiperbole

$$1=\frac{x^2}{e^2}-\frac{y^2}{a^2-e^2} =\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}.$$

Zbrajanjem jednadžbi elipse i hiperbole dobivamo

$$2=\frac{x^2}{5}+\frac{x^2}{9}=\frac{14x^2}{45},$$

odakle slijedi

$$x=\pm\frac{3\sqrt{35}}7,$$

a zatim uvrštavanjem natrag u jednu od jednadžbi krivulja slijedi i

$$y=\pm\frac{2\sqrt{14}}7,$$

čime dobivamo četiri tražena sjecišta:

$$\left(\frac{3\sqrt{35}}7,\frac{2\sqrt{14}}7\right),\quad \left(\frac{3\sqrt{35}}7,-\frac{2\sqrt{14}}7\right),$$ $$\left(-\frac{3\sqrt{35}}7,\frac{2\sqrt{14}}7\right),\quad \left(-\frac{3\sqrt{35}}7,-\frac{2\sqrt{14}}7\right).$$