4. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžba kružnice radijusa $r$ sa središtem u $(x_0,y_0)$ glasi $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Uzimajući u obzir da se središte kružnice nalazi na pravcu $y=2x-6$, sve točke na kružnici zadovoljavaju jednakost $(x-x_0)^2+(y-2x_0+6)^2=r^2$.

Posebno, tu jednakost zadovoljavaju točke $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, pa imamo

$$\begin{aligned} x_0^2+(5-2x_0+6)^2&=r^2,\\ x_0^2+(-1-2x_0+6)^2&=r^2. \end{aligned}$$

Oduzimanjem i sređivanjem, dobivamo $(11-2x_0)^2=(5-2x_0)^2$, odnosno $4x_0=16$, odakle je $x_0=4$. Kako središte kružnice leži na pravcu $y=2x-6$, dobivamo $y_0=2$, dakle središte kružnice je točka $O(4,2)$.

Radijus $r$ dobivamo uvrštavajući točku $B(0,-1)$ u jednadžbu kružnice: $(0-4)^2+(-1-2)^2=r^2$, odakle je $r=5$.

Neka je $C$ bilo koja točka na većem luku $\wideparen{AB}$ kružnice, te $\gamma$ mjera kuta $\angle ACB$. Koristeći sinusov poučak za trokut $ABC$, traženi sinus obodnog kuta možemo dobiti po formuli $\sin\gamma=\frac{c}{2r}$, gdje je $c=|AB|$.

Kako je $|AB|=\sqrt{(0-0)^2+(-1-5)^2}=6$, konačno imamo

$$\sin\gamma=\frac{6}{2\cdot5}=\frac35.$$

Drugo rješenje.

Primijetimo da je točka $M(0,2)$ polovište dužine $AB$, te da ta dužina leži na $y$-osi. Središte ove kružnice se nalazi na simetrali dužine $AB$. To je pravac koji je okomit na $y$-os i prolazi kroz polovište, pa mu jednadžba glasi $y=2$.

Uvrštavanjem uvjeta $y=2$ u jednadžbu pravca $y=2x-6$ dobivamo koordinate središta kružnice $O(4,2)$.

Radijus kružnice je $|AO|=\sqrt{(0-4)^2+(5-2)^2}=5$.

Sinus obodnog kuta nad manjim i nad većim lukom $\wideparen{AB}$ ove kružnice se poklapaju (jer vrijedi $\sin x=\sin(\pi-x)$). Obodni kut nad većim lukom jednak je polovini središnjeg kuta $\angle AOB$ nad tetivom $AB$. Kako je $M$ polovište osnovice jednakokračnog trokuta $ABO$, zaključujemo da sinus traženog kuta možemo računati kao sinus kuta $\angle AOM$.

Trokut $AMO$ je pravokutan, pa zato imamo

$$\sin\angle AOM=\frac{|AM|}{|AO|}=\frac{\sqrt{(0-0)^2+(5-2)^2}}5=\frac35.$$