2. Zadatak

Budući da su $a_1,a_2,a_3,a_4$ i $a_5$ uzastopni članovi aritmetičkog niza, postoji realan broj $d$ takav da je $a_2=a_1+d$, $a_3=a_1+2d$, $a_4=a_1+3d$ i $a_5=a_1+4d$.

Zbog $50=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_1+10d=5(a_1+2d)$ dobivamo $a_1+2d=10$.

Budući da su $a_1$, $a_2$ i $a_5$ uzastopni članovi geometrijskog niza, dobivamo

$$a_1\cdot a_5=a_2^2,$$

odnosno

$$a_1(a_1+4d)=(a_1+d)^2.$$

Ako u ovu jednadžbu uvrstimo $a_1+2d=10$ dobivamo $(10-2d)(10+2d)=(10-d)^2$.

Rješavanjem gornje jednadžbe dobivamo da je $d=0$ ili $4$.

Budući da su $a_1,a_2,a_3,a_4$ i $a_5$ različiti realni brojevi, slučaj $d=0$ otpada, pa zaključujemo da je nužno $d=4$.

Uvrštavanjem dobivamo da su traženi brojevi $a_1=2$, $a_2=6$, $a_3=10$, $a_4=14$ i $a_5=18$.